2.1.0.3.1 (I1) 기호 레지스트리 단사성(한 기호 한 의미).

\[\sigma:\Sigma\to\mathcal{M}\ \text{는 단사(injective)},\qquad \sigma(s_1)=\sigma(s_2)\Rightarrow s_1=s_2.\] 단사성이 깨지면 이는 LOCK 실패이며, 어떤 도출/비교도 중단한다.

2.1.0.3.2 (I2) 차원 일관성.

차원(단위) 연산자를 \([\cdot]\)로 두자. 문서에 등장하는 임의의 방정식 \(E(\cdot)=0\)에서, \[E = \sum_{j} E_j,\quad E_j \text{는 가산항}\] 이라면, 모든 덧셈 항은 동일 차원을 가져야 한다. \[[E_1]=[E_2]=\cdots.\] 위반 시 FAIL이다.

2.1.0.3.3 (I3) 장부 허용집합(admissibility set).

비율/점유율로 해석되는 상태변수는 허용집합 \[\mathcal{S} := \Big\{ (e_{\mathrm{bg}},\rho,e_{\mathrm{a}}): 0\le e_{\mathrm{bg}},\rho,e_{\mathrm{a}}\le 1,\; e_{\mathrm{bg}}+\rho+e_{\mathrm{a}}=1 \Big\}\] 을 만족해야 한다. 또한 운동론 분포는 \[f(x,v,t)\ge 0\] 이어야 한다. 이 조건을 만족하지 못하면 물리적 해석이 붕괴하므로 FAIL이다.

2.1.0.3.4 (I4) 잠금 파라미터의 불가추정성.

잠금 파라미터 \(\theta_{\mathrm{LOCK}}\in\Theta_{\mathrm{LOCK}}\)는 평가 게이트에 사용되는 데이터로부터 추정/조정되어서는 안 된다. 즉, 평가 데이터 \(X_{\mathrm{eval}}\)이 주어졌을 때, \[\theta_{\mathrm{LOCK}}'=\mathcal{F}(X_{\mathrm{eval}},\theta_{\mathrm{LOCK}})\] 와 같은 업데이트는 금지한다.

2.2.0.5.1 (F1) LOCK 구제(rescue).

FAIL이 나왔을 때 LOCK을 변경하는 행위는 금지: \[g(\Pi(M),X)=\mathrm{FAIL}\ \Rightarrow\ \mathrm{LOCK}'=\mathrm{LOCK}.\]

2.2.0.5.2 (F2) 평가 데이터 누수(평가 데이터로 파라미터 피팅).

평가 데이터 \(X_{\mathrm{eval}}\)로 \(\theta\)를 조정하고 같은 데이터로 다시 PASS/FAIL을 주장하는 행위 금지: \[\theta'=\mathcal{F}(X_{\mathrm{eval}},\theta) \ \text{ 후 }\ g(\Pi(\mathrm{LOCK},H,\theta'),X_{\mathrm{eval}}) \ \text{를 근거로 사용}\ \Rightarrow\ \text{금지}.\] 단, 평가 데이터를 훈련으로 재정의하고 별도의 홀드아웃 평가셋을 도입하는 경우는 새로운 프로토콜로만 허용된다.

2.2.0.5.3 (F3) 테스트 게이트로 닫힘/모델 선택.

여러 닫힘 후보 \(H_1,\dots,H_m\)를 테스트 게이트에서 경쟁시키고 가장 좋은 것을 채택하는 행위는 금지. 허용하려면 후보군 사전등록 + 검증/선택은 train/val에서 + test는 1회 평가여야 한다.

2.2.0.5.4 (F4) 사후 임계치 변경.

게이트 임계치(허용 기준)를 결과를 본 뒤 바꾸는 행위 금지: \[g\ \text{및 그 임계치/지표는 버전 내 불변이다.}\]

2.2.0.5.5 (F5) 관측량 정의/매핑의 사후 변경.

모델 변수\(\rightarrow\)관측량 매핑을 FAIL 이후 수정해 “맞추는” 행위 금지. 수정하려면 새로운 HYP로 등록하고 처음부터 게이트를 다시 설계해야 한다.

2.2.0.5.6 (F6) 침묵하는 레짐 축소.

FAIL을 피하기 위해 레짐을 사후에 좁히되(그 케이스를 제외), 이를 새로운 주장으로 명시하지 않는 행위 금지. 레짐 제한은 반드시 명시/버전화/정당화가 필요하다.

2.3.0.3.1 (G1) 내적 일관성 게이트.

외부 데이터 없이 이론 자체의 일관성을 검사한다:

• 기호 레지스트리 단사성,

• 양의성/정규화/허용집합 \(\mathcal{S}\) 준수,

• 장부 보존식(국소형/적분형) 만족,

• 닫힘으로 PDE가 닫히는지(수학적 완결성).

(G1) FAIL은 하드 스톱이다. 관측 비교를 진행할 수 없다.

2.3.0.3.2 (G2) 차원(단위) 검사 게이트.

모든 방정식/구성식의 차원 일관성을 검사한다. 예컨대 \[[\partial_t e_{\mathrm{tot}}]=[\nabla\cdot S]\] 와 같이 양변 항의 차원이 일치해야 한다. 위반 시 FAIL.

2.3.0.3.3 (G3) 한계 레짐 게이트.

문서가 선언한 특정 한계에서 올바른 형태로 환원되는지 검사한다:

• 등방\(\rightarrow\)축대칭의 일치 한계,

• 약장/저구배 한계에서의 유효 방정식(예: 확산형) 도출,

• 구대칭/축대칭 환원 방정식의 구조 일치.

2.3.0.3.4 (G4) 관측 게이트.

관측 데이터와 비교하는 게이트. 반드시 고정 지표/임계치/전처리를 포함한다:

• 잔차 노름(오차막대 포함),

• 우도/비교 기준(사전 분포 및 자유도 명시),

• 교차-데이터 일관성(단일 파라미터 세트 유지) 등.

데이터 출처와 전처리 코드는 \(\mathcal{X}\)의 일부로 잠금(아카이브)되어야 한다.

2.3.0.3.5 (G5) 수치 게이트.

수치적 인공물(artifact)이 아닌지 검사한다:

• 격자/시간 스텝 수렴성,

• seed 민감도,

• 보존 오차 및 안정성 기준.

2.4.0.3.1 (P1) 전역성(한 세트).

허용 범위 내에서 단일 파라미터 세트가 여러 모듈/게이트에 공통 적용되어야 한다. \[\theta_{\mathrm{HYP}}^{(A)}=\theta_{\mathrm{HYP}}^{(B)}=\cdots\] 단, 레짐 의존 파라미터를 도입하려면 독립적 정당화와 별도 게이트가 필요하다.

2.4.0.3.2 (P2) 데이터 분리.

데이터 역할을 서로소로 분리한다: \[\mathcal{X}=\mathcal{X}_{\mathrm{train}}\ \dot{\cup}\ \mathcal{X}_{\mathrm{val}}\ \dot{\cup}\ \mathcal{X}_{\mathrm{test}}.\] 피팅은 \(\mathcal{X}_{\mathrm{train}}\)에서만, 선택은 \(\mathcal{X}_{\mathrm{val}}\)에서만, 최종 PASS/FAIL은 \(\mathcal{X}_{\mathrm{test}}\)에서 1회만 수행한다.

2.4.0.3.3 (P3) 자유도 예산.

피팅 파라미터 수를 \(k:=\dim(\theta_{\mathrm{HYP}})\), 유효 데이터 포인트 수를 \(n\)이라 할 때, 게이트는 \((k,n)\)을 보고하며 \[\frac{k}{n}\le \epsilon\] 를 만족하도록 제한한다. \(\epsilon\) 및 사용 지표(예: 정보준거/교차검증)는 사전등록되어야 한다.

2.4.0.3.4 (P4) 식별가능성(identifiability).

예측 사상 \[\theta_{\mathrm{HYP}}\mapsto \Pi(\mathrm{LOCK},H,\theta_{\mathrm{HYP}})\] 이 (관측 잡음 수준에서) 실질적으로 단사성이 없으면 파라미터 해석은 금지된다. 이 경우

1. 파라미터 축소(차원 \(k\) 감소),

2. 독립 게이트 추가(퇴화 제거),

3. 또는 파라미터 해석 없는 예측 수준 주장으로 제한

중 하나를 선택해야 한다.

2.6.0.3.1 (R1) 의미/표기 실패.

기호 충돌, 미정의 기호, 의미 불일치, 레지스트리 단사성 위반 등.

2.6.0.3.2 (R2) 차원/단위 실패.

단위 불일치, 스케일링 오류, 숨은 단위 변환 등.

2.6.0.3.3 (R3) 장부/허용조건 위반.

\(f<0\), 비율 변수가 \([0,1]\)을 벗어남, 정규화 붕괴, 보존식 위반 등.

2.6.0.3.4 (R4) 수학적 닫힘 실패.

선언된 닫힘으로 계층이 닫히지 않음, 경계조건 누락, PDE가 부적절(ill-posed) 등.

2.6.0.3.5 (R5) 수치 실패.

비수렴, 불안정, 격자/스텝/seed 민감, 보존오차 과대 등.

2.6.0.3.6 (R6) 관측 불일치.

잔차가 임계치를 초과, 교차-데이터 불일치(단일 파라미터 유지 실패), 판별 예측이 반증됨 등.

2.6.0.3.7 (R7) 누수/과적합(프로토콜 위반).

평가 데이터로 파라미터 조정, 테스트 게이트로 모델 선택, 사후 임계치 변경 등.

2.6.0.4.1 (R1)–(R2):

보통 Patch 수정(표기 레지스트리 복구, 단위 수정)으로 처리하되, 주장 내용/게이트 기준은 바꾸지 않는다. 수정 후 내부 게이트를 재실행한다.

2.6.0.4.2 (R3):

허용조건 강제(수치 스킴 개선, 게이트 강화) 또는 레짐 제한을 수행하되 LOCK 의미는 변경하지 않는다.

2.6.0.4.3 (R4):

도출이 불완전하므로 (i) 필요한 닫힘을 HYP로 추가하고 게이트를 설계하거나, (ii) 해당 DERIVE 주장을 철회한다.

2.6.0.4.4 (R5):

SPEC(수치/구현)을 수정하고 수치 게이트를 추가/강화한다. 수치 수정이 물리 주장을 바꾸면 반드시 HYP/버전 변경으로 선언해야 한다.

2.6.0.4.5 (R6):

허용되는 대응은

1. HYP(닫힘/구성 법칙/매핑)의 교체 또는 수정(대체로 Minor),

2. 레짐 유효 범위의 명시적 제한,

3. 주장 철회

중 하나이며, LOCK 구제는 금지다.

2.6.0.4.6 (R7):

해당 평가를 무효로 하고, train/val/test 분리 및 사전등록을 갖춘 새 프로토콜을 설계하여 처음부터 재평가한다.

3.1.1.1 기호 집합.

문서에 등장 가능한 모든 기호(라틴/그리스 문자, 첨자/위첨자/인덱스 포함)의 집합을 \(\Sigma\)로 둔다. \[\Sigma := \{ s:\ s \text{는 이 문서에서 허용되는 문법적 기호 토큰}\}.\]

3.1.1.2 의미 집합.

기호가 가리키는 의미(스칼라장/벡터장/텐서장/상수/연산자/사상 등)의 집합을 \(\mathcal{M}\)으로 둔다.

3.1.1.3 기호\(\rightarrow\)의미 레지스트리.

최종 방정식에 사용되는 정규(캐노니컬) 기호 집합을 \(\Sigma_{\mathrm{can}}\subseteq\Sigma\)로 두고, 기호\(\rightarrow\)의미 레지스트리를 \[\sigma:\Sigma_{\mathrm{can}}\to\mathcal{M}\] 로 정의한다. 본 문서의 핵심 규칙은 단사성이다: \[\sigma \text{는 단사(injective)},\qquad \sigma(s_1)=\sigma(s_2)\Rightarrow s_1=s_2.\] 즉 한 기호는 한 의미만 가져야 한다. 단사성이 깨지면 문서 전체가 비반증화되므로, 이를 하드 실패로 취급한다.

3.1.1.4 별칭(alias) 정책(편의 토큰).

편의상 다른 표기가 필요하면 별칭 집합 \(\Sigma_{\mathrm{alias}}\subseteq\Sigma\setminus\Sigma_{\mathrm{can}}\)와 별칭 사상 \[\alpha:\Sigma_{\mathrm{alias}}\to\Sigma_{\mathrm{can}}\] 을 도입한다. 단, 모든 정식 서술(정리/증명/게이트 정의/핵심 방정식)은 \(\Sigma_{\mathrm{can}}\)로만 작성해야 하며, \(\Sigma_{\mathrm{alias}}\)는 편집 단계에서 제거되어야 한다.

3.1.2.1 기본 차원 집합과 차원군.

기본 차원 집합을 \[\mathbb{B}=\{L,T,M,\ldots\}\] 로 둔다. 본 PART에서 최소한 \(L\) (길이), \(T\) (시간)를 포함한다. 질량 \(M\)은 이후 “질량 매핑”을 도입하는 PART에서 포함될 수 있다. 차원군 \(\mathrm{Dim}\)은 \(\mathbb{B}\)가 생성하는 자유 아벨군으로 두며, 예를 들어 \(\mathbb{B}=\{L,T,M\}\)이면 \[\mathrm{Dim}\cong \mathbb{Z}^3,\qquad (\ell,\tau,m)\ \leftrightarrow\ [L]^\ell[T]^\tau[M]^m.\]

3.1.2.2 차원 레지스트리.

모든 정규 기호에 대해 차원 사상 \[\delta:\Sigma_{\mathrm{can}}\to \mathrm{Dim}\] 를 정의한다. 차원 연산 규칙은 표준적으로:

• \(\delta(uv)=\delta(u)+\delta(v)\),

• \(\delta(u/v)=\delta(u)-\delta(v)\),

• \(u+v\)는 \(\delta(u)=\delta(v)\)일 때만 허용.

3.1.2.3 차원-정형성(well-formedness).

표현식이 차원-정형적이라는 것은 덧셈/뺄셈이 동일 차원 항끼리만 이루어진다는 뜻이다. 방정식은 좌변과 우변이 동일 차원을 가져야 한다. 위반은 (G2) 차원 게이트 FAIL이다.

3.1.3.1 스칼라/벡터/텐서 표기.

• 스칼라: 이탤릭(예: \(e_{\mathrm{a}},\rho,\mu\)),

• 벡터: 굵은 글씨(예: \(\mathbf{S}\)),

• 2차 텐서: 굵은 대문자(예: \(\mathbf{T}\)) 또는 성분 \(T_{ij}\).

3.1.3.2 항등텐서.

\[\mathbf{I}\ \text{는 항등텐서},\qquad (\mathbf{I})_{ij}=\delta_{ij}.\]

3.1.3.3 미분 연산자.

\[\nabla := (\partial_{x_1},\partial_{x_2},\partial_{x_3}),\quad \nabla\cdot \mathbf{S} := \sum_{i=1}^3 \partial_{x_i} S_i,\quad \nabla\cdot \mathbf{T} := \Big(\sum_{j=1}^3 \partial_{x_j} T_{ij}\Big)_{i=1}^3.\]

3.1.3.4 노름/내적.

\[\|\mathbf{u}\| := \sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}},\qquad \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}:=\sum_{i=1}^3 u_i v_i.\] 텐서 노름은 사용 시 명시한다(기본: Frobenius 노름).

3.1.3.5 점근 기호.

작은 매개변수 \(\varepsilon\)에 대해 \[f(\varepsilon)=\mathcal{O}(\varepsilon^p)\ (\varepsilon\to 0)\] 는 어떤 \(C,\varepsilon_0>0\)가 존재하여 \(0<\varepsilon<\varepsilon_0\)에서 \(|f(\varepsilon)|\le C\varepsilon^p\)임을 의미한다.

3.1.5.1 예약 기호(reserved).

예약 기호 집합 \(\Sigma_{\mathrm{res}}\subseteq\Sigma_{\mathrm{can}}\)는 의미가 LOCK으로 고정되어 재할당이 불가능한 기호다. 최소한 다음을 예약한다. \[\Sigma_{\mathrm{res}}\supseteq \{e_{\mathrm{bg}},\ \rho,\ e_{\mathrm{a}},\ e_{\mathrm{tot}},\ f,\ \mathbf{S},\ \mathbf{T},\ \mu,\ \Gamma,\ B,\ a,\ \Delta t,\ c,\ v^\ast\}.\]

3.1.5.2 금지 기호(forbidden; 과적재 방지).

레거시 문서에서 의미가 과적재(overload)된 기호는 정규 기호로 쓰지 못한다. 금지 집합 \(\Sigma_{\mathrm{forb}}\subseteq\Sigma\)를 정의하고 최소 \[\Sigma_{\mathrm{forb}}\supseteq \{\,e,\ \kappa\,\}\] 를 포함한다. 즉,

• 맨 기호 \(e\)는 금지: \(e_{\mathrm{bg}},e_{\mathrm{a}},e_{\mathrm{tot}}\) 등으로 분해해야 한다.

• 맨 기호 \(\kappa\)는 금지: \(\kappa_{\mathrm{opt}},\kappa_T\) 등 목적별로 분리해야 한다.

3.1.5.3 충돌 복구 규칙(필수).

금지 기호가 레거시 텍스트에 존재하면 반드시 치환표( §3.7 )로 전부 매핑해야 한다. 매핑되지 않은 금지 기호가 남아 있으면 도출(DERIVE)을 중단한다.

3.2.1.1 모멘트 존재를 위한 적분가능성.

\(e_{\mathrm{a}}\)를 정의하려면 \[f(x,\cdot,t)\in L^1(\mathbb{R}^3_v)\] 가 필요하다. \(\mathbf{S},\mathbf{T}\)를 위해서는 각각 \[\int_{\mathbb{R}^3}\|v\|\,f(x,v,t)\,dv<\infty,\qquad \int_{\mathbb{R}^3}\|v\|^2\,f(x,v,t)\,dv<\infty\] 를 가정해야 하며, 이는 해당 DERIVE에서 레짐 가정으로 명시해야 한다.

3.2.2.1 이동상(활성 배우) 점유율.

\[e_{\mathrm{a}}(x,t) := \int_{\mathbb{R}^3} f(x,v,t)\,dv.\] 이는 비율이므로 무차원: \[\delta(e_{\mathrm{a}})=0.\] 따라서 \(\delta(f)\)는 \(dv\)의 차원을 상쇄해야 한다. 속도 \(v\)의 차원을 \(\delta(v)=LT^{-1}\)로 두면, \[\delta(dv)=3\,\delta(v)=L^3T^{-3}, \qquad \delta(f)= -\delta(dv)=L^{-3}T^{3}\] (지수 표기에서는 \((-3,3)\))로 해석된다.

3.2.2.2 플럭스(1차 모멘트).

\[\mathbf{S}(x,t) := \int_{\mathbb{R}^3} v\, f(x,v,t)\,dv \in \mathbb{R}^3, \qquad \delta(\mathbf{S})=\delta(v)=LT^{-1}.\]

3.2.2.3 2차 모멘트 텐서.

\[\mathbf{T}(x,t) := \int_{\mathbb{R}^3} (v\otimes v)\, f(x,v,t)\,dv, \qquad \delta(\mathbf{T})=2\,\delta(v)=L^2T^{-2}.\]

3.2.2.4 저장상(저장 배우) 점유율.

\[\rho:\Omega\times\mathbb{R}\to[0,1],\qquad \rho=\rho(x,t), \qquad \delta(\rho)=0.\]

3.2.2.5 총 배우 점유율.

\[e_{\mathrm{tot}}(x,t):=\rho(x,t)+e_{\mathrm{a}}(x,t), \qquad \delta(e_{\mathrm{tot}})=0.\]

3.2.2.6 배경(무대) 점유율.

정규화로 정의한다: \[e_{\mathrm{bg}}(x,t):=1-e_{\mathrm{tot}}(x,t)=1-\rho(x,t)-e_{\mathrm{a}}(x,t), \qquad \delta(e_{\mathrm{bg}})=0.\]

3.2.3.1 점별 상하한.

\[0\le \rho(x,t)\le 1,\qquad 0\le e_{\mathrm{a}}(x,t)\le 1,\qquad 0\le e_{\mathrm{bg}}(x,t)\le 1.\]

3.2.3.2 정규화(장부).

\[e_{\mathrm{bg}}(x,t)+\rho(x,t)+e_{\mathrm{a}}(x,t)=1\quad \forall(x,t).\]

3.2.3.3 허용집합.

\[\mathcal{S}:= \Big\{ (e_{\mathrm{bg}},\rho,e_{\mathrm{a}})\in\mathbb{R}^3: 0\le e_{\mathrm{bg}},\rho,e_{\mathrm{a}}\le 1,\; e_{\mathrm{bg}}+\rho+e_{\mathrm{a}}=1 \Big\}.\] 모든 물리 주장에 사용되는 해/근사 해는 \(\mathcal{S}\)에 머물러야 한다. \(\mathcal{S}\) 이탈은 FAIL이다.

3.3.1.1 (C1) 닫힘 계수(closure constant).

모멘트 닫힘에 등장하는 계수. 예: \[\mathbf{T}=\kappa_T\, e_{\mathrm{a}}\,\mathbf{I}.\] 여기서 \[\delta(\kappa_T)=\delta(\mathbf{T})-\delta(e_{\mathrm{a}})=L^2T^{-2}.\]

3.3.1.2 (C2) 수송/완화 계수(relaxation rate).

플럭스 완화에 등장하는 계수. 예(일반형): \[\partial_t \mathbf{S} + \nabla\cdot \mathbf{T} = -B\,\mathbf{S} + \cdots, \qquad \delta(B)=T^{-1}.\]

3.3.1.3 (C3) 상전환 계수(conversion rate).

저장\(\leftrightarrow\)이동 전환률 \(\mu\) 등(보통 \(\delta(\mu)=T^{-1}\)).

3.3.1.4 (C4) 관측 매핑 계수(observable mapping).

관측량(예: 적색편이)으로의 사상에 등장하는 계수. 예: \[\frac{dE}{E} = -\kappa_{\mathrm{opt}}\, ds, \qquad \delta(\kappa_{\mathrm{opt}})=L^{-1}.\]

3.3.1.5 (C5) 무차원 기하 계수.

격자 기하 인자 \(\zeta\) 등(차원 0).

3.3.2.1 맨 \(\kappa\) 금지(LOCK 편집 규칙).

정규 기호로서의 \(\kappa\)는 금지한다. \[\kappa \notin \Sigma_{\mathrm{can}}.\] 따라서 \(\kappa\)가 등장하면 반드시 역할을 나타내는 첨자를 부여해야 한다: \[\kappa_{\mathrm{opt}},\ \kappa_T,\ \kappa_{\mathrm{lens}},\ \kappa_{\mathrm{mix}},\ \ldots\] 그리고 각각은 서로 다른 레지스트리 엔트리를 가져야 한다(의미/차원/도메인 모두 포함).

3.3.2.2 일반 분리 규칙.

두 상수 \(c_1,c_2\)가 의미가 다르거나 차원이 다르면 같은 기호를 공유할 수 없다. 즉, \[\delta(c_1)\neq \delta(c_2) \quad\text{또는}\quad \sigma(c_1)\neq \sigma(c_2) \quad\Rightarrow\quad c_1 \text{와 } c_2 \text{는 서로 다른 기호로 표기}.\]

3.3.3.1 광학/상호작용 비용 계수.

\[\frac{dE}{E} = -\kappa_{\mathrm{opt}}\, ds \quad\Longrightarrow\quad 1+z = e^{\kappa_{\mathrm{opt}} s}.\] 요구조건: \[\delta(\kappa_{\mathrm{opt}})=L^{-1}, \qquad \sigma(\kappa_{\mathrm{opt}})=\text{``경로 길이당 에너지 감쇠율''}.\]

3.3.3.2 모멘트 닫힘 계수.

\[\mathbf{T}=\kappa_T\, e_{\mathrm{a}}\,\mathbf{I}.\] 요구조건: \[\delta(\kappa_T)=L^2T^{-2}, \qquad \sigma(\kappa_T)=\text{``등방 2차 모멘트 스케일(분산형)''}.\]

3.3.3.3 차원 판정.

\[\delta(\kappa_{\mathrm{opt}})\neq \delta(\kappa_T) \quad\Rightarrow\quad \kappa_{\mathrm{opt}}\neq \kappa_T\] (기호로도, 의미로도 동일시 불가). 차원 게이트만으로도 분리가 강제된다.

3.4.1.1 기준 길이 \(a\)(셀/격자 간격).

\[a>0,\qquad \delta(a)=L.\]

3.4.1.2 기준 시간 \(\Delta t\).

\[\Delta t>0,\qquad \delta(\Delta t)=T.\]

3.4.1.3 기준 속도 \(c\)의 정의.

\[c := \frac{a}{\Delta t}, \qquad \delta(c)=LT^{-1}.\] 이 PART에서 \(c\)는 단위 실현을 위한 정의이며, 이후 PART에서 “처리율 제한 속도” 등 물리적 해석이 부여될 수 있다.

3.4.1.4 기준부피 \(v^\ast\)의 정의.

\[v^\ast := \zeta\, a^3, \qquad \delta(v^\ast)=L^3,\] 여기서 \(\zeta>0\)는 무차원 격자 기하 인자(예: 정육면체 셀의 경우 \(\zeta=1\))이다.

3.5.1.1 미시(micro) 스케일.

\[\ell_\mu \sim a,\qquad \tau_\mu \sim \Delta t,\qquad v_\mu\sim c.\] 이 스케일에서 \(f(x,v,t)\)는 미시 해석을 가질 수 있다.

3.5.1.2 중간(meso) 스케일.

천체 주변(원반/제트/헤일로 등)에서 \[\ell_{\mathrm{me}}\gg a,\qquad \tau_{\mathrm{me}}\gg \Delta t\] 로 변화하는 연속장(\(e_{\mathrm{a}},\rho,\mathbf{S},\mathbf{T}\))을 사용한다.

3.5.1.3 거시(macro) 스케일.

우주론적 규모에서 \[\ell_{\mathrm{ma}}\gg \ell_{\mathrm{me}}\gg a,\qquad \tau_{\mathrm{ma}}\gg \tau_{\mathrm{me}}\gg \Delta t\] 를 가정할 수 있으며, 통계적 등방/균질 등 추가 대칭은 레짐으로 선언해야 한다.

3.5.2.1 스무딩 커널.

폭 \(\ell\)을 갖는 커널 \(W_\ell:\mathbb{R}^3\to[0,\infty)\)를 \[\int_{\mathbb{R}^3} W_\ell(r)\,dr=1,\qquad W_\ell(r)=\ell^{-3}W_1(r/\ell)\] 로 두고, 어떤 미시장 \(q(x,t)\)의 조대화(평활)장을 \[\overline{q}^{(\ell)}(x,t) := \int_{\mathbb{R}^3} W_\ell(x-y)\,q(y,t)\,dy\] 로 정의한다.

3.5.2.2 조대화 일관성 조건.

모델이 스케일 일관적이라는 것은 최소 다음을 만족하는 것이다.

1. 조대화 후에도 허용집합 유지: \[\big(\overline{e}_{\mathrm{bg}}^{(\ell)},\overline{\rho}^{(\ell)},\overline{e}_{\mathrm{a}}^{(\ell)}\big)\in\mathcal{S} \quad \text{(선언된 }\ell\text{ 범위에서)}.\]

2. 장부식이 조대화에서 보존되거나 제어된 오차로만 깨짐: \[\partial_t \overline{e}_{\mathrm{tot}}^{(\ell)} + \nabla\cdot \overline{\mathbf{S}}^{(\ell)} = \mathcal{O}(\varepsilon_\ell),\] 여기서 \(\varepsilon_\ell\)는 미해상(subgrid) 기여를 나타내며, 반드시 상계되거나 모델링되어야 한다.

3.6.3.1 전환 vs 수송 비교(다름쾰러형 수).

수송 시간 \(T_0=L_0/c_0\)를 쓰면 \[\hat{\mu}=\mu\frac{L_0}{c_0},\qquad \hat{\Gamma}_0=\Gamma_0\frac{L_0}{c_0}.\] \(\hat{\mu}\gg 1\)이면 수송 시간 내에 저장\(\rightarrow\)이동 전환이 지배적임을 의미한다.

3.7.1.1 레거시/정규 기호 집합.

레거시 기호 집합을 \(\Sigma_{\mathrm{leg}}\), 업그레이드 정규 기호 집합을 \(\Sigma_{\mathrm{can}}\)라 하자.

3.7.1.2 치환 사상.

치환은 \[\Phi:\Sigma_{\mathrm{leg}}\to \big(\Sigma_{\mathrm{can}}\cup \mathcal{E}(\Sigma_{\mathrm{can}})\big)\] 로 정의한다. 여기서 \(\mathcal{E}(\Sigma_{\mathrm{can}})\)는 정규 기호들로 만든 표현식 집합(레거시 기호가 합성식으로 치환되는 경우 허용)이다.

3.7.1.3 문맥 의존 치환(불가피한 경우에만).

레거시 기호가 문맥에 따라 서로 다른 의미를 가진다면, 문맥 라벨 집합 \(\mathcal{K}\)를 도입하여 \[\Phi:\Sigma_{\mathrm{leg}}\times \mathcal{K}\to \Sigma_{\mathrm{can}}\cup \mathcal{E}(\Sigma_{\mathrm{can}})\] 로 확장할 수 있다. 단, 문맥 라벨 사용은 치환표에 명시해야 하며, 침묵하는 문맥 의존 치환은 금지한다.

3.7.1.4 치환 후 게이트(필수).

치환을 적용한 모든 레거시 방정식은 다음을 통과해야 한다.

1. 레지스트리 게이트: 치환 결과에 등장하는 기호가 모두 \(\Sigma_{\mathrm{can}}\)에 속하고 엔트리가 존재.

2. 차원 게이트: 치환 후 방정식이 \(\delta\)에 대해 차원 일관성.

3. 허용집합 게이트: \((e_{\mathrm{bg}},\rho,e_{\mathrm{a}})\) 관련식은 \(\mathcal{S}\)를 보존(또는 위반 시 의미 재정의가 필요하며 이는 Major).

4.1.2.1 프리미티브 객체(VP).

부피입자(VP)는 “무대(stage)의 최소 용량 단위”를 의미한다. 본 문서는 VP를 고전적 점입자처럼 추가 자유도로 모델링하기보다, 용량 장부를 구성하는 원자적 단위로 사용한다. 이 개념은 기준부피 \(v^\ast\)와, 점유율 변수들의 정규화/상하한 제약으로 수학화된다.

4.1.2.2 기준부피 \(v^\ast\).

\[v^\ast>0,\qquad \delta(v^\ast)=L^3.\] 격자/셀 실현(Part 03)에서는 \[v^\ast := \zeta\, a^3\] 로 둘 수 있다. 여기서 \(a>0\)는 기준 길이(셀 간격), \(\zeta>0\)는 무차원 기하 인자(정육면체 셀에서 \(\zeta=1\))이다. \((a,\zeta)\)는 단위 실현 인프라(Part 03)에 속하며, \(v^\ast\)는 “용량 장부의 물리적 기준”으로 본 PART의 프리미티브에 포함된다.

4.1.2.3 용량 해석(정규화 의미).

본 문서의 점유율 변수들은 “기준부피 \(v^\ast\) 당 국소 용량의 무차원 분율”이다. 따라서 값 \(1\)은 “해당 위상(또는 합)의 국소 용량이 가득 찬 상태”, \(0\)은 “해당 위상 점유가 없는 상태”를 뜻한다.

4.1.3.1 단위축장(unit axis field).

정렬(축대칭) 레짐을 기술하기 위해 단위벡터장 \[k:\Omega\times\mathbb{R}\to \mathbb{S}^2:=\{u\in\mathbb{R}^3:\|u\|=1\}, \qquad (x,t)\mapsto k(x,t)\] 를 프리미티브로 둔다. LOCK 제약: \[\|k(x,t)\|=1\quad \forall(x,t).\] \(k\)는 “국소적으로 선호되는 방향”을 표현하며(예: 채널링/제트/정렬 수송), \(k\)의 기원(회전/경계/외부장 등)은 본 PART에서 고정하지 않는다. 이후 모듈에서 \(k\)를 어떻게 정하는지는 별도의 HYP 또는 SPEC(입력장)로 선언되어야 한다.

4.1.4.1 정렬결함(alignement defect) 스칼라장.

정렬결함은 “활성(이동상) 정렬이 단위축 \(k\)로부터 얼마나 벗어나는지”를 나타내는 무차원 스칼라장이다. \[a_k:\Omega\times\mathbb{R}\to[0,1], \qquad a_k=a_k(x,t), \qquad \delta(a_k)=0.\] 정확한 정의는 혼합/정렬 공리에서 정렬 모멘트 \(\mathbf{m}_b\)와 단위축 \(k\)로부터 구성된다(§4.5.4). 여기서는 의미/범위만 고정한다.

4.1.4.2 범위 제약(LOCK).

\[0\le a_k(x,t)\le 1\quad \forall(x,t).\] 의도된 해석:

• \(a_k=0\): 정렬 모멘트가 \(k\)에 정확히 평행(축정렬 완전),

• \(a_k\)가 클수록 \(k\)에 수직한 성분(횡방향 결함)이 큼.

4.2.1.1 선택 A(유계 지원집합).

어떤 \(c_{\max}>0\)가 존재하여 \[\mathcal{V}=\{v\in\mathbb{R}^3:\ \|v\|\le c_{\max}\}.\] 만약 Part 03의 기준속도 \(c=a/\Delta t\)와 동일시한다면 \[c_{\max}=c\] 라는 동일시는 그 레짐에서 LOCK 수준의 동일시로 기록되어야 한다.

4.2.1.2 선택 B(전공간 지원집합).

\[\mathcal{V}=\mathbb{R}^3,\] 단, 필요한 모멘트가 존재하도록 \(f\)에 적분가능성 제약(아래 §4.2.3)을 부여한다. 이 경우 “최대 속도”와 같은 유계 가정은 본 PART에 포함되지 않으며, 이후 HYP/게이트로만 도입될 수 있다.

이후 \(v\) 적분은 별도 언급이 없으면 항상 \(\mathcal{V}\) 위에서 수행한다.

4.2.2.1 프리미티브 분포함수.

\[f:\Omega\times\mathcal{V}\times\mathbb{R}\to [0,\infty), \qquad (x,v,t)\mapsto f(x,v,t).\]

4.2.2.2 양의성(LOCK).

\[f(x,v,t)\ge 0\quad \forall (x,v,t)\in\Omega\times\mathcal{V}\times\mathbb{R}.\]

4.2.3.1 이동상(활성) 점유율.

\[e_{\mathrm{a}}(x,t):=\int_{\mathcal{V}} f(x,v,t)\,dv, \qquad \delta(e_{\mathrm{a}})=0.\] \(e_{\mathrm{a}}\)는 용량 분율이므로 다음 허용조건을 LOCK으로 둔다. \[0\le e_{\mathrm{a}}(x,t)\le 1\quad \forall(x,t).\]

4.2.3.2 플럭스(1차 모멘트).

\[\mathbf{S}(x,t):=\int_{\mathcal{V}} v\, f(x,v,t)\,dv\in\mathbb{R}^3, \qquad \delta(\mathbf{S})=LT^{-1}.\]

4.2.3.3 2차 모멘트(텐서).

\[\mathbf{T}(x,t):=\int_{\mathcal{V}} (v\otimes v)\, f(x,v,t)\,dv, \qquad \delta(\mathbf{T})=L^2T^{-2}.\]

4.2.3.4 모멘트 존재(적분가능성) 조건.

각 \((x,t)\)에서 다음이 성립해야 한다(필요 최소조건): \[\int_{\mathcal{V}} f(x,v,t)\,dv<\infty.\] 또한 \(\mathbf{S},\mathbf{T}\)를 사용하는 경우에는 추가로 \[\int_{\mathcal{V}} \|v\|\, f(x,v,t)\,dv<\infty, \qquad \int_{\mathcal{V}} \|v\|^2\, f(x,v,t)\,dv<\infty\] 를 가정해야 하며, 이 가정은 해당 DERIVE의 레짐 선언(§4.7)에 포함되어야 한다.

4.2.4.1 저장상(저장 배우) 분율.

\[\rho:\Omega\times\mathbb{R}\to[0,1],\qquad \rho=\rho(x,t),\qquad \delta(\rho)=0.\]

4.2.4.2 총 배우 점유율.

\[e_{\mathrm{tot}}(x,t):=\rho(x,t)+e_{\mathrm{a}}(x,t), \qquad \delta(e_{\mathrm{tot}})=0.\]

4.2.4.3 배경상(무대) 분율.

3상 장부 정규화에 의해 \[e_{\mathrm{bg}}(x,t):=1-e_{\mathrm{tot}}(x,t)=1-\rho(x,t)-e_{\mathrm{a}}(x,t), \qquad \delta(e_{\mathrm{bg}})=0.\] 허용조건(LOCK): \[0\le \rho(x,t)\le 1,\quad 0\le e_{\mathrm{bg}}(x,t)\le 1,\quad e_{\mathrm{bg}}+\rho+e_{\mathrm{a}}=1.\]

4.3.2.1 공리(장부/배우 총량의 제어체적 보존).

모든 허용 제어체적 \(V\subseteq\Omega\)와 적분이 존재하는 모든 시간 \(t\)에 대해 \[\frac{d}{dt}\int_V e_{\mathrm{tot}}(x,t)\,dx \;+\; \int_{\partial V} \mathbf{S}(x,t)\cdot \mathbf{n}(x)\,dA \;=\;0. \label{eq:ledger_integral_kr}\] 이는 “축적 + (외향)유출 = 0” 즉 “유입-유출-축적” 장부가 정확히 닫힌다는 뜻이다(순유입은 유출항의 부호로 계정).

4.3.2.2 닫힌 계(특수 경우).

\(\Omega\)가 유계이고 계가 닫혀 있다면 경계에서 관통 플럭스가 0이어야 한다: \[\mathbf{S}(x,t)\cdot \mathbf{n}(x)=0\quad \text{for }x\in\partial\Omega.\] 이 경우 전역 보존: \[\frac{d}{dt}\int_\Omega e_{\mathrm{tot}}(x,t)\,dx=0.\]

4.3.2.3 열린 계(대안).

열린 계에서는 \(\partial\Omega\)에서 \(\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\)이 외부 입력(경계조건)으로 주어져야 한다. 이 경우에도 [eq:ledger_integral_kr]는 임의의 부분체적 \(V\)에 대해 성립하며, 전역 보존은 경계 플럭스 회계로 대체된다.

4.3.3.1 정규화와의 정합성.

\(e_{\mathrm{bg}}=1-e_{\mathrm{tot}}\)이므로, \[\partial_t e_{\mathrm{bg}}(x,t)=-\partial_t e_{\mathrm{tot}}(x,t)=\nabla\cdot \mathbf{S}(x,t),\] 따라서 장부 공리는 \(e_{\mathrm{bg}}+\rho+e_{\mathrm{a}}=1\)을 유지하도록 배경 분율의 시간변화를 자동으로 결정한다.

4.4.1.1 저장\(\rightarrow\)이동 전환률 \(\mu\).

\[\mu:\Omega\times\mathbb{R}\to[0,\infty), \qquad \delta(\mu)=T^{-1}.\] \(\mu(x,t)\)는 저장 분율 \(\rho\)가 이동 분율 \(e_{\mathrm{a}}\)로 바뀌는 비율(시간당)을 의미한다.

4.4.1.2 이동\(\rightarrow\)저장 복귀율(함수) \(\Gamma\).

복귀율을 다음과 같은 함수형 객체로 도입한다. \[\Gamma:\Omega\times\mathbb{R}\times[0,1]\to[0,\infty), \qquad (x,t,u)\mapsto \Gamma(x,t;u), \qquad \delta(\Gamma)=T^{-1}.\] 그리고 실제 방정식에서는 \(\Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}}(x,t))\) 형태로 사용한다. 최소 허용조건: \[\Gamma(x,t;u)\ge 0\ \ \forall u\in[0,1], \qquad \Gamma(x,t;0)=0.\]

4.4.1.3 포화(saturation) 상한(선택적 가설 클래스).

게이트 친화적인(그러나 본 PART에서 자동 LOCK은 아닌) 추가 조건으로 \[0\le \Gamma(x,t;u)\le \Gamma_{\max}(x,t)\quad \forall u\in[0,1], \qquad \delta(\Gamma_{\max})=T^{-1}\] 를 둘 수 있다. 이를 사용하는 주장은 HYP/게이트로 명시해야 한다.

4.4.2.1 공리(상전환/총량 보존 하의 위상 교환).

저장상과 이동상은 다음을 만족한다. \[\begin{aligned} \partial_t \rho(x,t) &= -\mu(x,t)\,\rho(x,t) + \Gamma\big(x,t; e_{\mathrm{a}}(x,t)\big), \label{eq:conversion_rho_kr}\\ \partial_t e_{\mathrm{a}}(x,t) + \nabla\cdot \mathbf{S}(x,t) &= +\mu(x,t)\,\rho(x,t) - \Gamma\big(x,t; e_{\mathrm{a}}(x,t)\big). \label{eq:conversion_ea_kr}\end{aligned}\] [eq:conversion_rho_kr]–[eq:conversion_ea_kr]는 \(\mu,\Gamma\)의 의미와 부호를 고정한다: \(\mu\rho\)는 저장에서 이동으로의 공급(이동상 방정식에 \(+\)), \(\Gamma\)는 이동에서 저장으로의 복귀(이동상 방정식에 \(-\))이다.

4.4.2.2 장부 공리와의 정합성(증명).

[eq:conversion_rho_kr]와 [eq:conversion_ea_kr]를 더하면 \[\partial_t(\rho+e_{\mathrm{a}})+\nabla\cdot \mathbf{S} = \big(-\mu\rho+\Gamma\big)+\big(\mu\rho-\Gamma\big) =0,\] 즉 \[\partial_t e_{\mathrm{tot}}+\nabla\cdot \mathbf{S}=0\] 를 얻는다. 이는 국소 장부식 [eq:ledger_local_kr]와 동일하다.

4.5.1.1 혼합 강도장.

\[\lambda:\Omega\times\mathbb{R}\to[0,\infty), \qquad \delta(\lambda)=0.\] \(\lambda\)는 국소적으로 혼합(등방화/무작위화) 경향이 정렬 경향에 비해 얼마나 우세한지를 나타내는 무차원 강도 파라미터로 해석한다. \(\lambda\)의 구체적 동역학적 역할(예: 닫힘 가중, 레짐 전이)은 이후 PART에서 HYP로 지정될 수 있으나, \(\lambda\) 자체의 의미/범위는 여기서 고정한다.

4.5.1.2 유계 가중치(편의 정의).

계수 폭주를 피하기 위해 자주 쓰는 유계 가중치를 정의한다: \[w_\lambda(x,t):=\frac{\lambda(x,t)}{1+\lambda(x,t)}\in[0,1).\] 이는 단순 재기술이며 새로운 물리 내용을 추가하지 않는다.

4.5.2.1 편향(방향) 함수.

\[b:\Omega\times\mathcal{V}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3, \qquad (x,v,t)\mapsto b(x,v,t).\] \(b\)는 각 속도 상태 \(v\)에 대해 “정렬 편향”을 나타내는 벡터값 함수로 해석한다.

4.5.2.2 유계성(LOCK 허용조건).

\[\|b(x,v,t)\|\le 1\quad \forall(x,v,t).\] 이 유계성은 아래에서 정렬 모멘트가 \(e_{\mathrm{a}}\)로 상계됨을 보장하며, 따라서 정렬 지표의 정규화가 가능해진다.

4.5.3.1 정의(정렬 모멘트 벡터).

\[\mathbf{m}_b(x,t):=\int_{\mathcal{V}} b(x,v,t)\, f(x,v,t)\,dv \in \mathbb{R}^3.\]

4.5.3.2 상계(유계성으로부터).

\(f\ge 0\)와 \(\|b\|\le 1\)로부터 \[\|\mathbf{m}_b(x,t)\| \le \int_{\mathcal{V}}\|b(x,v,t)\|\, f(x,v,t)\,dv \le \int_{\mathcal{V}} f(x,v,t)\,dv = e_{\mathrm{a}}(x,t)\] 가 성립한다. 따라서 \(e_{\mathrm{a}}\le 1\)이면 \(\|\mathbf{m}_b\|\le 1\)이 자동으로 따른다.

4.5.3.3 정규화된 정렬 벡터와 정렬도.

\(e_{\mathrm{a}}(x,t)>0\)일 때 \[\mathbf{u}_b(x,t):=\frac{\mathbf{m}_b(x,t)}{e_{\mathrm{a}}(x,t)}\in\mathbb{R}^3, \qquad A(x,t):=\|\mathbf{u}_b(x,t)\|=\frac{\|\mathbf{m}_b(x,t)\|}{e_{\mathrm{a}}(x,t)}\in[0,1]\] 로 정의한다. \(e_{\mathrm{a}}(x,t)=0\)이면 관례적으로 \(\mathbf{u}_b=\mathbf{0}\), \(A=0\)으로 둔다.

\(A(x,t)\)는 활성 분율의 “정렬도”이며, \(A=0\)은 정렬 편향의 순효과가 없음을, \(A=1\)은 \(\|b\|\le 1\) 제약 하에서 가능한 최대 정렬 상태를 의미한다.

4.5.4.1 정의(정렬결함).

\[a_k(x,t):= \begin{cases} \dfrac{\|\mathbf{m}_{\perp}(x,t)\|}{e_{\mathrm{a}}(x,t)}, & e_{\mathrm{a}}(x,t)>0,\\[1.2ex] 0, & e_{\mathrm{a}}(x,t)=0. \end{cases}\] 위의 상계 \(\|\mathbf{m}_{\perp}\|\le \|\mathbf{m}_b\|\le e_{\mathrm{a}}\)로부터 \[0\le a_k(x,t)\le 1\] 이 성립한다.

4.5.4.2 해석.

• \(a_k=0 \Leftrightarrow \mathbf{m}_b \parallel k\) (정렬 모멘트가 축과 평행),

• \(a_k\)는 정렬의 “횡방향 결함”의 정규화 크기.

4.5.5.1 공리(축대칭 정렬 레짐에서의 \(k\)-정렬 편향).

정렬 우세 레짐에서는 어떤 스칼라 함수 \(\beta(x,v,t)\)가 존재하여 \[b(x,v,t)=\beta(x,v,t)\,k(x,t), \qquad |\beta(x,v,t)|\le 1\] 을 만족한다고 가정한다. 이 경우 \(\mathbf{m}_b\)는 \(k\)와 평행이므로 이상적으로 \(a_k=0\)이 된다(정렬도 \(A\)는 \(\beta\)의 평균 크기에 의해 결정).

4.5.5.2 공리(혼합 우세 레짐에서의 등방 편향).

혼합 우세 레짐에서는 편향의 순효과가 사라진다고 가정하는 최소 조건으로 \[\mathbf{m}_b(x,t)=\mathbf{0}\] 를 둔다(즉 \(A=0\)). 보다 약한 조건(작지만 비영)으로 완화하려면 이는 본 PART 밖에서 닫힘 HYP로 명시되어야 하며, 해당 HYP는 게이트로 검증되어야 한다.

4.6.1.1 공리(국소 유한 용량).

각 \((x,t)\)에서 기준부피 \(v^\ast\) 당 국소 용량이 유한하며, 이를 1로 정규화하여 \[e_{\mathrm{bg}}(x,t)+\rho(x,t)+e_{\mathrm{a}}(x,t)=1, \qquad 0\le e_{\mathrm{bg}},\rho,e_{\mathrm{a}}\le 1\] 이 성립한다고 가정한다. 이것이 jammed lattice(무대; 용량이 가득 차서 더 들어갈 수 없음)의 수학적 표현이다. 미시 기하를 더 구체적으로 정하지 않아도, 용량의 존재와 정규화가 공리로 고정된다.

4.6.1.2 배경변수 \(e_{\mathrm{bg}}\)의 도입 의미.

위 정규화가 성립하면 \(e_{\mathrm{bg}}\)는 독립 변수가 아니라 정의이다: \[e_{\mathrm{bg}}:=1-\rho-e_{\mathrm{a}}.\] 따라서 \(e_{\mathrm{bg}}\)가 의미를 갖는 조건은 (i) 용량이 정의 가능하고, (ii) \(\rho\)와 \(e_{\mathrm{a}}\)가 동일한 용량 분모에 대한 분율로 해석 가능하다는 조건이다.

4.6.2.1 조건 (S1) 조대화된 용량의 존재.

Part 03의 조대화 길이 \(\ell\)이 존재하여, \(\ell\) 이하의 미시 용량 변동이 평균화된 결과로 \[\overline{e}_{\mathrm{bg}}^{(\ell)}+\overline{\rho}^{(\ell)}+\overline{e}_{\mathrm{a}}^{(\ell)}=1\] 이 유효하며, 각 항이 \([0,1]\)에 머문다고 선언한다.

4.6.2.2 조건 (S2) 배우 총량의 장부 보존.

의도된 레짐에서 \(e_{\mathrm{tot}}=\rho+e_{\mathrm{a}}\)에 대해 장부 공리 [eq:ledger_local_kr] 또는 [eq:ledger_integral_kr]가 성립해야 한다. 만약 이후 모듈이 “무대와 배우 사이의 순교환”을 도입한다면, 장부 구조/정규화 의미가 바뀌므로 이는 Major 수준 변경으로 취급한다.

4.6.2.3 조건 (S3) 단위/차원의 호환.

Part 03의 단위 실현 \((a,\Delta t,c,v^\ast)\)가 선택된 레짐과 호환되어, \(e_{\mathrm{a}},\rho,e_{\mathrm{bg}}\)가 계속 무차원 분율로 유지되어야 한다.

4.7.1.1 (R0) 기하 정칙성.

장부 공리에 사용하는 제어체적 \(V\)는 Lipschitz 경계를 가지며 발산정리 적용이 가능해야 한다.

4.7.1.2 (R1) 운동론 허용조건(양의성/모멘트 존재).

\[f\ge 0,\qquad \int_{\mathcal{V}} f\,dv<\infty,\] 그리고 \(\mathbf{S},\mathbf{T}\)를 사용할 때는 \[\int_{\mathcal{V}}\|v\| f\,dv<\infty,\qquad \int_{\mathcal{V}}\|v\|^2 f\,dv<\infty.\]

4.7.1.3 (R2) 위상 허용조건과 정규화.

\[(e_{\mathrm{bg}},\rho,e_{\mathrm{a}})\in\mathcal{S}\quad \text{점별(pointwise)}, \qquad \mathcal{S}:=\{(u_1,u_2,u_3)\in[0,1]^3:\ u_1+u_2+u_3=1\}.\]

4.7.1.4 (R3) 플럭스 경계적분 가능성.

장부 적분형에서 경계 플럭스가 정의 가능해야 한다: \[\int_{\partial V} |\mathbf{S}\cdot \mathbf{n}|\,dA <\infty\] (필요한 \(V,t\)에 대해).

4.7.1.5 (R4) 상전환 허용조건.

\[\mu\ge 0,\quad \delta(\mu)=T^{-1},\] \[\Gamma(x,t;u)\ge 0,\quad \delta(\Gamma)=T^{-1},\quad \Gamma(x,t;0)=0,\] 그리고 \(\Gamma\)는 \((x,t)\)에 대해 가측이며 \(u\in[0,1]\)에 대해 가측(또는 연속)이라고 선언한다.

4.7.1.6 (R5) 혼합/정렬 허용조건.

\[\lambda\ge 0,\quad \delta(\lambda)=0,\qquad \|k\|=1,\qquad \|b\|\le 1,\] 따라서 \(\mathbf{m}_b\)가 존재하고 \(\|\mathbf{m}_b\|\le e_{\mathrm{a}}\)가 성립한다.

4.7.1.7 (R6) 연속장(미분형) 사용을 위한 스케일 분리(해당 시).

미시(격자) 구조를 연속 미분방정식으로 근사하는 주장이라면, Part 03의 작은 매개변수 \[\varepsilon:=\frac{a}{L}\ll 1\] 을 선언해야 한다. 여기서 \(L\)은 해당 주장에 등장하는 장들의 대표 변화 길이이다. \(L\)이 선언되지 않으면, 미분형 주장은 제한되며 제어체적 적분형 수준의 주장만 허용된다.

5.1.2.1 저장상(저장 배우) 분율.

\[\rho:\Omega\times\mathbb{R}\to[0,1],\qquad \rho=\rho(x,t).\]

5.1.2.2 이동상(활성 배우) 분율.

이동상은 운동론 프리미티브 \(f\)의 0차 모멘트로 정의한다: \[e_{\mathrm{a}}(x,t):=\int_{\mathcal{V}} f(x,v,t)\,dv, \qquad 0\le e_{\mathrm{a}}(x,t)\le 1.\]

5.1.2.3 총 배우 분율.

\[e_{\mathrm{tot}}(x,t):=\rho(x,t)+e_{\mathrm{a}}(x,t), \qquad 0\le e_{\mathrm{tot}}(x,t)\le 1.\]

5.1.2.4 배경(무대) 분율(보완량).

\[e_{\mathrm{bg}}(x,t):=1-e_{\mathrm{tot}}(x,t)=1-\rho(x,t)-e_{\mathrm{a}}(x,t), \qquad 0\le e_{\mathrm{bg}}(x,t)\le 1.\] 따라서 \(e_{\mathrm{bg}}\)는 \((\rho,e_{\mathrm{a}})\)가 주어지면 정의로 결정되지만, 제약/레짐 게이팅 및 (이후 PART의) 동역학에서 편의상 상태성분으로 다룬다.

5.1.3.1 의미(비형식 서술이지만 고정).

• \(\rho\): 연속장 수준에서 비수송(저장) 상태로 존재하는 배우 분율,

• \(e_{\mathrm{a}}\): 수송 가능한 이동(활성) 상태의 배우 분율(운동론 \(f\)로 표현),

• \(e_{\mathrm{bg}}\): 남은 무대(배경) 용량의 분율(보완량).

5.1.3.2 장부 불변량(반드시 보존).

\[e_{\mathrm{bg}}+\rho+e_{\mathrm{a}}=1,\qquad e_{\mathrm{tot}}=\rho+e_{\mathrm{a}},\qquad e_{\mathrm{bg}}=1-e_{\mathrm{tot}}.\] 모든 닫힘/근사/수치 방법은(허용오차가 있다면 그 오차를 명시한 후) 위 불변량을 보존해야 하며, 위반 시 내부 일관성 게이트 FAIL이다.

5.2.2.1 0차 모멘트(이동상 분율).

\[e_{\mathrm{a}}(x,t):=\int_{\mathcal{V}} f(x,v,t)\,dv.\]

5.2.2.2 1차 모멘트(플럭스 벡터).

\[\mathbf{S}(x,t):=\int_{\mathcal{V}} v\, f(x,v,t)\,dv\in\mathbb{R}^3.\] \(\mathbf{S}\)는 장부 공리에서 \(e_{\mathrm{tot}}\)에 대응하는 배우 플럭스로 해석된다.

5.2.2.3 2차 모멘트(수송 텐서).

\[\mathbf{T}(x,t):=\int_{\mathcal{V}} (v\otimes v)\, f(x,v,t)\,dv.\] \(\mathbf{T}\)는 적분이 존재하면 대칭이며 양의 준정부호(PSD)이다(§5.2.6).

5.2.4.1 유입/유출 분해(항등식).

\[(\mathbf{S}\cdot\mathbf{n})_{+}:=\max(\mathbf{S}\cdot\mathbf{n},0), \qquad (\mathbf{S}\cdot\mathbf{n})_{-}:=\max(-\mathbf{S}\cdot\mathbf{n},0),\] 이면 \[\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}=(\mathbf{S}\cdot\mathbf{n})_{+}-(\mathbf{S}\cdot\mathbf{n})_{-},\] 즉 “순유출 = 유출 - 유입”이 된다.

5.2.6.1 PSD 성질(수송 텐서).

임의의 \(\xi\in\mathbb{R}^3\)에 대해 \[\xi^\top \mathbf{T}(x,t)\,\xi = \int_{\mathcal{V}}(\xi\cdot v)^2\, f(x,v,t)\,dv\ge 0\] 이므로 \(\mathbf{T}\succeq 0\)이다(대칭 및 양의 준정부호).

5.2.6.2 플럭스에 대한 Cauchy–Schwarz 부등식.

\[\|\mathbf{S}\|^2 = \Big\|\int_{\mathcal{V}} v f\,dv\Big\|^2 \le \Big(\int_{\mathcal{V}} f\,dv\Big)\Big(\int_{\mathcal{V}}\|v\|^2 f\,dv\Big) = e_{\mathrm{a}}\ \mathrm{tr}(\mathbf{T}),\] 여기서 \[\mathrm{tr}(\mathbf{T})=\int_{\mathcal{V}}\|v\|^2 f\,dv.\] 따라서 \(e_{\mathrm{a}}>0\)이면 \[\|\mathbf{u}\|^2 \le \frac{\mathrm{tr}(\mathbf{T})}{e_{\mathrm{a}}}.\]

5.2.6.3 공분산형 텐서의 PSD 성질.

\(e_{\mathrm{a}}>0\)에서 임의의 \(\xi\)에 대해 \[\xi^\top \boldsymbol{\Sigma}\,\xi = \frac{1}{e_{\mathrm{a}}}\int_{\mathcal{V}}(\xi\cdot (v-\mathbf{u}))^2 f\,dv\ge 0\] 이므로 \(\boldsymbol{\Sigma}\succeq 0\)이다.

5.2.6.4 유계 속도 레짐의 결과(후보; \(\mathcal{V}\) 유계일 때).

만약 레짐에서 \(\|v\|\le c_{\max}\)가 성립한다면, \[\|\mathbf{S}(x,t)\| \le \int_{\mathcal{V}}\|v\| f\,dv \le c_{\max}\int_{\mathcal{V}} f\,dv = c_{\max} e_{\mathrm{a}}(x,t),\] 또한 \[\mathrm{tr}(\mathbf{T})(x,t)\le c_{\max}^2 e_{\mathrm{a}}(x,t), \qquad \mathbf{T}(x,t)\preceq c_{\max}^2 e_{\mathrm{a}}(x,t)\,\mathbf{I}.\] 만약 \(c_{\max}=c\)로 동일시하면(Part 03) “플럭스 제한”의 표준형은 \[\|\mathbf{S}\|\le c\, e_{\mathrm{a}}\] 가 된다.

5.3.3.1 정렬결함 \(a_k\).

\[a_k(x,t):= \begin{cases} \dfrac{\|\mathbf{m}_{\perp}(x,t)\|}{e_{\mathrm{a}}(x,t)}, & e_{\mathrm{a}}(x,t)>0,\\[1.0ex] 0, & e_{\mathrm{a}}(x,t)=0. \end{cases}\] 그러면 \(a_k\in[0,1]\)이다.

5.3.3.2 피타고라스 관계(정규화).

\(e_{\mathrm{a}}>0\)에서 \(\mathbf{u}_b=\mathbf{m}_b/e_{\mathrm{a}}\)라 하면, \[A(x,t)^2=\|\mathbf{u}_b\|^2 = (\mathbf{u}_b\cdot k)^2+\|\mathbf{u}_b-(\mathbf{u}_b\cdot k)k\|^2 = \xi(x,t)^2+a_k(x,t)^2.\] 즉 \[A^2=\xi^2+a_k^2\qquad (e_{\mathrm{a}}>0).\] 이는 내부 일관성 게이트로 사용 가능하다.

5.3.4.1 축대칭/정렬 조건(정규형).

정렬 우세(축대칭) 레짐에서 어떤 스칼라 \(\beta(x,v,t)\)가 존재하여 \[b(x,v,t)=\beta(x,v,t)\,k(x,t), \qquad |\beta(x,v,t)|\le 1\] 을 만족한다고 선언한다. 그러면 \(\mathbf{m}_b\parallel k\)이므로 \[a_k(x,t)=0,\qquad A(x,t)=|\xi(x,t)|\] 가 된다.

5.3.4.2 혼합 우세(등방) 조건(최소형).

강혼합 레짐에서 \[\mathbf{m}_b(x,t)=\mathbf{0}\] 을 둔다. 그러면 \[A=0,\qquad \xi=0,\qquad a_k=0.\] 더 약한 등방성(작지만 비영) 조건을 쓰려면 이는 HYP로 선언하고 수치 임계치로 게이트해야 한다.

5.4.1.1 적분형(제어체적).

임의의 제어체적 \(V\subseteq\Omega\)에 대해 \[\frac{d}{dt}\int_V q(x,t)\,dx \;+\; \int_{\partial V} \mathbf{J}_q(x,t)\cdot \mathbf{n}(x)\,dA \;=\; \int_V R_q(x,t)\,dx. \label{eq:generic_balance_integral_kr}\] 여기서 \(\mathbf{J}_q\cdot\mathbf{n}>0\)는 유출, \(\mathbf{J}_q\cdot\mathbf{n}<0\)는 유입이다.

5.4.1.2 국소형(정칙성 하에서).

\[\partial_t q(x,t)+\nabla\cdot \mathbf{J}_q(x,t)=R_q(x,t) \label{eq:generic_balance_local_kr}\] 가 약/강 의미로 성립한다.

5.5.1.1 부호 규약(LOCK).

• \(\Xi_{\mathrm{EV}}(x,t)>0\): 무대\(\rightarrow\)배우 (배경 용량이 배우 용량으로 전환),

• \(\Xi_{\mathrm{EV}}(x,t)<0\): 배우\(\rightarrow\)무대 (배우 용량이 배경으로 흡수).

5.5.1.2 총 배우 장부에의 표준 배치.

총 배우 분율 방정식의 표준형은 \[\partial_t e_{\mathrm{tot}}(x,t)+\nabla\cdot \mathbf{S}(x,t)=\Xi_{\mathrm{EV}}(x,t). \label{eq:etot_with_Xi_kr}\] 제어체적 적분형은 \[\frac{d}{dt}\int_V e_{\mathrm{tot}}\,dx + \int_{\partial V}\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dA = \int_V \Xi_{\mathrm{EV}}\,dx.\] \(\Xi_{\mathrm{EV}}\equiv 0\)이면 장부 공리(닫힌 배우 회계)로 환원된다.

5.5.1.3 배경 방정식에의 유도 배치(정규화에 의해 강제).

\(e_{\mathrm{bg}}=1-e_{\mathrm{tot}}\)이므로 [eq:etot_with_Xi_kr]는 \[\partial_t e_{\mathrm{bg}}(x,t)=\nabla\cdot \mathbf{S}(x,t)-\Xi_{\mathrm{EV}}(x,t) \label{eq:ebg_with_Xi_kr}\] 를 유도한다. 이는 별도 가정이 아니라 정규화 장부가 강제하는 회계다.

5.5.1.4 저장/이동으로의 분배(선택; 분배가중치 \(\eta\)).

\(\Xi_{\mathrm{EV}}\)를 \(\rho\)와 \(e_{\mathrm{a}}\)에 어떻게 배분할지 정하려면 \[\eta(x,t)\in[0,1]\] 를 도입하여 \[\begin{aligned} \partial_t \rho &= -\mu\rho+\Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}})+(1-\eta)\,\Xi_{\mathrm{EV}}, \label{eq:rho_with_Xi_kr}\\ \partial_t e_{\mathrm{a}}+\nabla\cdot \mathbf{S} &= +\mu\rho-\Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}})+\eta\,\Xi_{\mathrm{EV}}. \label{eq:ea_with_Xi_kr}\end{aligned}\] 로 둔다. 이때 합은 [eq:etot_with_Xi_kr]가 된다. \(\eta\)의 선택은 HYP(또는 순수 구현이면 SPEC)이며, 예측에 영향을 주면 반드시 게이트 대상이다.

5.5.2.1 부호 규약(표준).

• \(Q_{\mathrm{EV}}>0\): 배우\(\rightarrow\)배경 (에너지가 무대로 이동),

• \(Q_{\mathrm{EV}}<0\): 배경\(\rightarrow\)배우 (에너지가 배우로 이동).

5.5.2.2 표준 배치(위상 분해).

\[\begin{aligned} \partial_t u_{\mathrm{a}}+\nabla\cdot \mathbf{J}_{u,\mathrm{a}} &= \cdots - Q_{\mathrm{EV}} + \cdots, \label{eq:ua_with_Q_kr}\\ \partial_t u_{\mathrm{bg}}+\nabla\cdot \mathbf{J}_{u,\mathrm{bg}} &= \cdots + Q_{\mathrm{EV}} + \cdots. \label{eq:ubg_with_Q_kr}\end{aligned}\] 그러면 교환항은 \(u_{\mathrm{a}}+u_{\mathrm{bg}}\)의 합에서 상쇄되어 총 에너지 장부를 보존한다(다른 외부항이 없다면).

5.5.2.3 Type V와 Type E의 결합(선택; 에너지 비용 \(\chi\)).

만약 점유율 교환 \(\Xi_{\mathrm{EV}}\)가 단위 점유율당 에너지 비용/크레딧 \(\chi(x,t)\)를 동반한다면, \[Q_{\mathrm{EV}}=\chi(x,t)\,\Xi_{\mathrm{EV}}\] 와 같은 결합을 둘 수 있다. \(\chi>0\)일 때 \(\Xi_{\mathrm{EV}}>0\)(무대\(\rightarrow\)배우)라면 배우가 에너지를 받아야 하므로 \(Q_{\mathrm{EV}}<0\)가 자연스러운 경우가 많다. 어떤 결합이 물리적으로 타당한지는 HYP로 선언하고 게이트해야 한다.

5.5.2.4 핵심 장부 규칙.

에너지 손실(예: 감쇠/적색편이 등)이 점유율 변화를 동반하지 않는다면, 그것은 Type E이며 점유율 장부에 넣으면 안 된다. 반대로 \((e_{\mathrm{bg}},\rho,e_{\mathrm{a}})\) 자체를 바꾸는 메커니즘은 Type V(또는 상전환 항)로 들어가야 하며, 정규화를 보존해야 한다.

5.6.1.1 운동론 양의성.

\[f(x,v,t)\ge 0.\]

5.6.1.2 3상 상하한 및 정규화.

\[0\le e_{\mathrm{bg}}(x,t)\le 1,\quad 0\le \rho(x,t)\le 1,\quad 0\le e_{\mathrm{a}}(x,t)\le 1,\quad e_{\mathrm{bg}}+\rho+e_{\mathrm{a}}=1.\] 즉 \(\mathbf{e}(x,t)\in\mathcal{S}\).

5.6.1.3 상전환 비음수(하드 제약).

\[\mu(x,t)\ge 0,\qquad \Gamma(x,t;u)\ge 0,\qquad \Gamma(x,t;0)=0.\] 이는 \(\rho=0\), \(e_{\mathrm{a}}=0\) 경계에서 음수로 밀어내는 반응 구조를 방지하는 최소 조건이다.

5.6.2.1 모멘트 존재.

사용되는 모멘트에 대해 \[\int_{\mathcal{V}} f\,dv<\infty,\qquad \int_{\mathcal{V}}\|v\| f\,dv<\infty,\qquad \int_{\mathcal{V}}\|v\|^2 f\,dv<\infty\] 를 레짐으로 선언해야 한다.

5.6.2.2 \(\mathbf{T}\)의 PSD.

\[\mathbf{T}(x,t)\succeq 0.\] 정의가 모멘트 적분이면 자동 성립하지만, 닫힘으로 근사된 \(\mathbf{T}\)에서는 중요한 내부 게이트가 된다.

5.6.2.3 공분산 PSD(강한 내부 게이트).

\(e_{\mathrm{a}}>0\)에서 \[\boldsymbol{\Sigma}=\frac{\mathbf{T}}{e_{\mathrm{a}}}-\mathbf{u}\otimes\mathbf{u}\succeq 0.\]

5.6.3.1 후보 A(속도 지원집합 유계).

레짐에서 \[\mathcal{V}\subseteq \{v:\|v\|\le c_{\max}\}\] 를 가정한다. 만약 \(c_{\max}=c=a/\Delta t\)로 동일시한다면 그 동일시를 레짐에 명시한다.

5.6.3.2 후보 B(평균 속도 유계).

\(\mathcal{V}=\mathbb{R}^3\)를 사용하되, 평균 속도에 게이트를 둔다: \[\|\mathbf{u}(x,t)\|=\frac{\|\mathbf{S}(x,t)\|}{e_{\mathrm{a}}(x,t)}\le c_{\mathrm{eff}}(x,t).\] \(c_{\mathrm{eff}}\)는 선언된 유효 상한이며, 이는 닫힘/게이트 선택이다.

5.6.4.1 유계 속도에서의 플럭스 상한(후보).

\(\|v\|\le c_{\max}\)이면 \[\|\mathbf{S}\|\le c_{\max} e_{\mathrm{a}}.\] 무차원화에서 \(c_{\max}=1\)이면 \(\|\hat{\mathbf{S}}\|\le e_{\mathrm{a}}\).

5.6.4.2 2차 모멘트 기반 플럭스 부등식(모멘트 존재 시 항상).

속도 유계 가정 없이도 \[\|\mathbf{S}\|^2\le e_{\mathrm{a}}\ \mathrm{tr}(\mathbf{T})\] 가 성립한다. 따라서 닫힘이 \((e_{\mathrm{a}},\mathbf{S},\mathbf{T})\)를 예측할 때 이 부등식을 위반하면, 어떤 비음수 분포함수 \(f\)로도 실현 불가능하므로 내부 일관성 FAIL이다.

5.6.5.1 편향 유계(하드).

\[\|b(x,v,t)\|\le 1.\]

5.6.5.2 정렬 모멘트 상계(유도 게이트).

\[\|\mathbf{m}_b(x,t)\|\le e_{\mathrm{a}}(x,t).\]

5.6.5.3 정규화 정렬량의 상하한과 항등식.

\(e_{\mathrm{a}}>0\)에서 \[A=\frac{\|\mathbf{m}_b\|}{e_{\mathrm{a}}}\in[0,1],\qquad \xi=\frac{\mathbf{m}_b\cdot k}{e_{\mathrm{a}}}\in[-1,1],\qquad a_k\in[0,1],\qquad A^2=\xi^2+a_k^2.\] 이 범위/항등식 위반은 닫힘 또는 수치 구현의 내부 불일치로 간주한다.

6.1.1.1 (A) 총 배우 연속식(표준 코어).

\[\partial_t e_{\mathrm{tot}}(x,t)+\nabla\cdot \mathbf{S}(x,t)=0. \label{eq:core_continuity_etot_kr}\] 이는 PART 04의 장부 공리(제어체적 보존)의 국소형이며, 필요한 정칙성(약미분 등)이 성립하는 레짐에서 [eq:core_continuity_etot_kr]는 DERIVE로서 정당화된다. (원리는 적분형 공리이며 §6.1.2 참조.)

6.1.1.2 (B) 이동상 연속식이 아니다(주의).

만약 레거시에서 \(e\)가 사실상 \(e_{\mathrm{a}}\)를 뜻했다면, 올바른 업그레이드는 \[\partial_t e_{\mathrm{a}}+\nabla\cdot\mathbf{S} = +\mu\rho-\Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}}) \label{eq:core_continuity_ea_kr}\] 처럼 상전환 항이 포함되어야 한다(PART 04). 즉 \(e_{\mathrm{a}}\)에 대해 “소스=0” 연속식을 쓰는 것은 의미층 위반이다.

6.1.1.3 외부 배우-총량 소스(확장).

배우 총량이 외부로부터 생성/소멸된다고 명시적으로 확장할 때만 \[\partial_t e_{\mathrm{tot}}+\nabla\cdot\mathbf{S}=R_{\mathrm{tot}}^{\mathrm{ext}} \label{eq:core_continuity_etot_ext_kr}\] 를 허용한다. 이는 장부 공리의 “닫힌 배우 회계”를 바꾸므로, HYP로 선언하고 반드시 게이트해야 한다.

6.2.4.1 역주입 금지(규칙).

닫힘 \(\mathcal{K}_{N+1}\)는 관측 타깃에 맞추기 위해 사후 조정으로 역주입하면 안 된다. 닫힘은

• 게이트 평가 전에 고정(사전등록),

• 차원 일관,

• 실현가능성(realizability) 제약(비음수 \(f\)가 존재할 수 있는지)을 위반하지 않음,

• 명시된 레짐에서만 사용

해야 한다.

6.2.5.1 (T0) 스칼라-확산 레벨(\(N=0\)).

\(e_{\mathrm{a}}\)(및 \(\rho\))만 진화시키고 플럭스를 구성법칙으로 닫는다: \[\mathbf{S}=\mathcal{J}(e_{\mathrm{a}},\nabla e_{\mathrm{a}},\dots).\] (드리프트-확산 레벨)

6.2.5.2 (T1) 1차 모멘트 레벨(\(N=1\); 기본 코어).

\((e_{\mathrm{a}},\mathbf{S})\)(및 \(\rho\))를 진화시키고 \(\mathbf{T}\)를 닫는다: \[\mathbf{T}=\mathcal{T}(e_{\mathrm{a}},\mathbf{S};\theta_T).\] (최소한의 하이퍼볼릭/완화 구조를 포함)

6.2.5.3 (T2) 2차 모멘트 레벨(\(N=2\)).

\((e_{\mathrm{a}},\mathbf{S},\mathbf{T})\)를 진화시키고 3차 모멘트를 닫는다. 고충실이지만 비용이 크며, 코어 매핑에는 필수는 아니다.

이후 PART 06의 기본 전개는 (T1)을 “기본 코어”로 채택한다(구대칭/제트 레짐을 1:1로 담기 용이).

6.2.6.1 위상 방정식(상전환 + 수송).

\[\begin{aligned} \partial_t \rho &= -\mu\rho + \Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}}), \label{eq:core_rho_T1_kr}\\ \partial_t e_{\mathrm{a}} + \nabla\cdot \mathbf{S} &= +\mu\rho - \Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}}). \label{eq:core_ea_T1_kr}\end{aligned}\]

6.2.6.2 플럭스 방정식(모멘텀형 + 완화 + 구동).

\[\partial_t \mathbf{S} + \nabla\cdot \mathbf{T} = -\mathbf{B}\,\mathbf{S} + e_{\mathrm{a}}\,\mathbf{F}_{\mathrm{eff}} + \mathbf{R}_S^{\mathrm{ext}}. \label{eq:core_S_T1_kr}\] 여기서

• \(\mathbf{B}(x,t)\): 완화율 연산자(스칼라면 \(B\mathbf{I}\)), \(\delta(\mathbf{B})=T^{-1}\),

• \(\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}(x,t)\): 유효 구동장(가속도 차원), \(\delta(\mathbf{F}_{\mathrm{eff}})=LT^{-2}\),

• \(\mathbf{R}_S^{\mathrm{ext}}\): 선언된 외부 플럭스 소스(보통 코어에서는 0).

Deficit(유효 포텐셜/유효 중력)은 표준적으로 \(\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}\) 안에 포함시킨다(§6.5).

6.2.6.3 닫힘 위치(정확히 여기서 닫는다).

(T1) 닫힘은 정확히 \[\mathbf{T}=\mathcal{T}(e_{\mathrm{a}},\mathbf{S};\theta_T)\] 이다. 이후 어떤 레거시 식이든 반드시 이 구조에 사상되어야 하며, 닫힘은 이 자리를 넘어가면 안 된다(레짐/가설로만 확장 가능).

6.2.7.1 (G1) 차원 일관.

\[\delta(\mathbf{T})=L^2T^{-2}.\] 만약 닫힘에 계수 \(\kappa_T\)가 등장한다면 \(\delta(\kappa_T)=L^2T^{-2}\)이어야 하며, 광학/기하 계수 \(\kappa_{\mathrm{opt}}\)와 절대 혼용하면 안 된다(Part 03의 \(\kappa\) 분리 원칙).

6.2.7.2 (G2) PSD 게이트.

\[\mathbf{T}(x,t)\succeq 0.\]

6.2.7.3 (G3) 플럭스-모멘트 부등식 게이트.

비음수 분포함수 \(f\)가 존재하려면 \[\|\mathbf{S}\|^2 \le e_{\mathrm{a}}\ \mathrm{tr}(\mathbf{T})\] 가 필요하다(PART 05). 닫힘이 이를 체계적으로 위반하면 실현 불가능.

6.2.7.4 (G4) 한계 레짐 게이트.

닫힘은 자신이 적용된다고 선언한 레짐에서 다음 한계형을 가져야 한다.

• 등방 혼합 한계: \(\mathbf{T}\to p(e_{\mathrm{a}})\mathbf{I}\),

• 축대칭 정렬 한계: \(\mathbf{T}\to p_\perp(\mathbf{I}-k\otimes k)+p_\parallel(k\otimes k)\),

• 강완화/저속 확산 한계: \(\mathbf{S}\to\) 드리프트-확산형(아래 §6.7).

6.4.3.1 \(\nabla\cdot\mathbf{T}\)의 구조(축 일정 가정).

\(k=\hat{z}\)가 공간적으로 일정하면 \[\nabla\cdot\mathbf{T} = \nabla p_\perp+\partial_z(p_\parallel-p_\perp)\,k,\] 따라서 횡방향은 \(\partial_R p_\perp\), 종방향은 \(\partial_z p_\parallel\)가 구동한다: \[(\nabla\cdot\mathbf{T})\cdot\hat{R}=\partial_R p_\perp, \qquad (\nabla\cdot\mathbf{T})\cdot k=\partial_z p_\parallel.\]

6.4.5.1 정렬과의 연결.

강정렬 제트에서는 \(a_k\approx 0\) (PART 05)을 선언하고, 또한 \[S_R=\mathcal{O}(\varepsilon_\perp)\ll S_z\] 같은 순서 가정(레짐)을 둘 수 있다.

6.5.2.1 (i) 닫힘이 만드는 압력형(부피압) 구동: \(\nabla\cdot\mathbf{T}\).

예를 들어 등방 닫힘 \(\mathbf{T}=p\mathbf{I}\)이면 \(\nabla\cdot\mathbf{T}=\nabla p\)로, “압력 기울기”처럼 작동한다. 축대칭 닫힘이면 횡/종 압력이 분리되어 \(\partial_R p_\perp\), \(\partial_z p_\parallel\)가 각각 구동한다.

6.5.2.2 (ii) Deficit이 만드는 포텐셜형 구동: \(e_{\mathrm{a}}(-\nabla\Phi_{\mathrm{eff}})\).

이는 (외부 지정 또는 자가일관 계산되는) 포텐셜 경사에 의해 드리프트를 만든다.

강완화 레짐에서(아래 §6.7) \(\partial_t\mathbf{S}\)를 무시하면 \[\mathbf{S}\approx -\mathbf{B}^{-1}(\nabla\cdot\mathbf{T})-\mathbf{B}^{-1}\big(e_{\mathrm{a}}\nabla\Phi_{\mathrm{eff}}\big) +\mathbf{B}^{-1}(e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_{\mathrm{other}}). \label{eq:drift_diffusion_general_kr}\] 등방 \(B\)와 \(\mathbf{T}=p\mathbf{I}\)이면 \[\mathbf{S}\approx -\frac{1}{B}\nabla p(e_{\mathrm{a}})-\frac{e_{\mathrm{a}}}{B}\nabla\Phi_{\mathrm{eff}}+\frac{e_{\mathrm{a}}}{B}\mathbf{F}_{\mathrm{other}}. \label{eq:drift_diffusion_isotropic_kr}\] 즉 Deficit은 연속식의 소스가 아니라 플럭스의 드리프트 항으로 나타난다. 이것이 “부피압 관점”의 핵심이다: \[\textbf{유효 중력처럼 보이는 효과는 (부피압 기울기) + (포텐셜 기울기)로 분해된다.}\]

6.6.2.1 (S1) 맨몸 \(e\) 치환.

레거시의 연속식 \[\partial_t e+\nabla\cdot\mathbf{S}=0\] 에서 \(e\)는 기본적으로 \[e\mapsto e_{\mathrm{tot}}\] 으로 치환한다. 레거시 문맥이 \(e=e_{\mathrm{a}}\)임을 명확히 강제한다면, 올바른 업그레이드 식은 [eq:core_ea_T1_kr]이며 “0=0” 연속식으로 둘 수 없다.

6.6.2.2 (S2) 맨몸 \(\kappa\) 치환(역할별 분리).

맨몸 \(\kappa\)는 금지이다. 모든 \(\kappa\)는 역할별로 분리해야 한다: \[\kappa \mapsto \kappa_T,\ \kappa_\perp,\ \kappa_\parallel,\ \kappa_{\mathrm{opt}},\ \ldots\] 그리고 각 차원을 명시해야 한다: \[\delta(\kappa_T)=L^2T^{-2},\qquad \delta(\kappa_{\mathrm{opt}})=L^{-1}, \quad \text{등.}\]

6.6.2.3 (S3) deficit/포텐셜/압력의 자리 고정.

레거시의 deficit은

• (압력형) 닫힘 내부의 \(p(e_{\mathrm{a}})\)로 들어가거나,

• (포텐셜형) \(\Phi_{\mathrm{eff}}\)로 들어가 \(\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}=-\nabla\Phi_{\mathrm{eff}}+\cdots\) 형태로

반드시 플럭스 방정식에서 작동해야 한다. 연속식의 총량 소스로 넣는 것은 금지(의미층 위반).

6.6.2.4 (S4) 저장\(\leftrightarrow\)이동 전환은 \(\mu,\Gamma\)로 표준화.

레거시의 전환항은 [eq:core_conversion_rho_kr]–[eq:core_conversion_ea_kr]의 구조로 표현되어야 하며, 총량에서 정확히 상쇄되어야 한다.

6.7.2.1 닫힌계 총 배우 보존.

경계에서 \(\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}=0\)이면 [eq:core_ledger_integral_kr]에 \(V=\Omega\)를 넣어 \[\frac{d}{dt}\int_\Omega e_{\mathrm{tot}}\,dx=0\] 를 얻는다.

6.7.2.2 상전환 상쇄(부호/구조 게이트).

[eq:core_conversion_rho_kr]와 [eq:core_conversion_ea_kr]의 합에서 \(\mu\rho\)와 \(\Gamma\)가 정확히 상쇄되어야 한다. 부호가 틀려 상쇄가 깨지면 의미층 위반이다.

7.1.1.1 등방 선형 닫힘(CL-ISO).

\[\mathbf{T}(x,t)=\kappa_T(x,t)\,e_{\mathrm{a}}(x,t)\,\mathbf{I}, \qquad \kappa_T(x,t)\ge 0, \qquad \delta(\kappa_T)=L^2T^{-2}. \label{eq:part07_T_iso_kr}\] \(\mathbf{I}\succeq 0\)이고 \(\kappa_T e_{\mathrm{a}}\ge 0\)이므로 \(\mathbf{T}\succeq 0\)가 자동 성립한다(PSD 게이트 통과).

7.1.1.2 발산 계산.

스칼라 \(p\)에 대해 \(\nabla\cdot(p\mathbf{I})=\nabla p\)이므로 \[\nabla\cdot\mathbf{T}=\nabla(\kappa_T e_{\mathrm{a}}) =\kappa_T\nabla e_{\mathrm{a}} + e_{\mathrm{a}}\nabla \kappa_T. \label{eq:part07_div_T_iso_kr}\]

7.1.1.3 등방 완화.

혼합 우세(등방) 레짐에서는 보통 \[\mathbf{B}(x,t)=B(x,t)\,\mathbf{I}, \qquad B(x,t)>0, \qquad \delta(B)=T^{-1} \label{eq:part07_B_iso_kr}\] 를 사용한다.

7.1.2.1 확산계수와 드리프트 속도의 정의.

유효 확산계수를 \[D(x,t):=\frac{\kappa_T(x,t)}{B(x,t)}, \qquad \delta(D)=\frac{L^2T^{-2}}{T^{-1}}=L^2T^{-1} \label{eq:part07_D_def_kr}\] 로 정의한다. 또한 유효 드리프트 속도를 \[\mathbf{u}_{\mathrm{eff}}(x,t):= \frac{1}{B(x,t)}\Big(\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}(x,t)-\nabla\kappa_T(x,t)\Big), \qquad \delta(\mathbf{u}_{\mathrm{eff}})=LT^{-1} \label{eq:part07_ueff_def_kr}\] 로 정의하면 [eq:part07_S_iso_expanded_kr]는 표준 드리프트-확산형으로 정리된다: \[\mathbf{S}\approx -D\,\nabla e_{\mathrm{a}} + e_{\mathrm{a}}\,\mathbf{u}_{\mathrm{eff}}. \label{eq:part07_S_drift_diffusion_kr}\] \(\kappa_T\)가 공간 상수이면 \(\mathbf{u}_{\mathrm{eff}}=\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}/B\)이다.

7.1.3.1 양의성 주의(게이트).

[eq:part07_ea_drift_diffusion_reaction_kr]가 해석적으로/수치적으로 양의성을 자동 보장하는 것은 아니다(경계조건, \(D\ge0\), 반응항의 inward-pointing 조건 등에 달림). 따라서 \(e_{\mathrm{a}}\ge 0\) 및 단체 보존은 반드시 해/구현 단계에서 게이트로 검증되어야 한다.

7.2.2.1 레마 7.1(축대칭 \(\Rightarrow \mathbf{m}_b\parallel k\)).

한 점 \((x,t)\)를 고정하고 축 \(k=k(x,t)\)를 둔다. 다음을 가정하자:

1. (분포의 축대칭성) 모든 \(Q\in G_k\)와 모든 \(v\in\mathcal{V}\)에 대해 \[f(x,Qv,t)=f(x,v,t), \label{eq:part07_axisym_f_kr}\]

2. (편향의 회전 공변성) 모든 \(Q\in G_k\)와 모든 \(v\in\mathcal{V}\)에 대해 \[b(x,Qv,t)=Q\,b(x,v,t). \label{eq:part07_axisym_b_covariant_kr}\]

그러면 정렬 모멘트 \[\mathbf{m}_b(x,t)=\int_{\mathcal{V}} b(x,v,t)\,f(x,v,t)\,dv\] 는 \[\mathbf{m}_b(x,t)=m_\parallel(x,t)\,k(x,t) \label{eq:part07_mb_parallel_kr}\] 형태로 축에 평행이다.

7.2.2.2 증명.

임의의 \(Q\in G_k\)를 고정하고 변수변환 \(w:=Qv\)를 취한다(\(Q\in SO(3)\)이므로 Jacobian \(=1\)). 그러면 \[\begin{aligned} \mathbf{m}_b &=\int_{\mathcal{V}} b(x,v,t)\,f(x,v,t)\,dv\\ &=\int_{\mathcal{V}} b(x,Q^{-1}w,t)\,f(x,Q^{-1}w,t)\,dw\\ &=\int_{\mathcal{V}} Q^{-1}b(x,w,t)\,f(x,w,t)\,dw \quad \text{(\eqref{eq:part07_axisym_b_covariant_kr}, \eqref{eq:part07_axisym_f_kr})}\\ &=Q^{-1}\int_{\mathcal{V}} b(x,w,t)\,f(x,w,t)\,dw =Q^{-1}\mathbf{m}_b.\end{aligned}\] 따라서 \(Q\mathbf{m}_b=\mathbf{m}_b\)가 모든 \(Q\in G_k\)에 대해 성립한다. \(k\) 주위 모든 회전에 불변인 벡터는 \(k\) 방향뿐이므로 \(\mathbf{m}_b\parallel k\)이다. \(\square\)

7.2.2.3 따름정리(정렬결함 소멸).

\(e_{\mathrm{a}}(x,t)>0\)이면 \[a_k(x,t)=\frac{\|\mathbf{m}_b-(\mathbf{m}_b\cdot k)k\|}{e_{\mathrm{a}}}=0.\]

7.3.2.1 (D1) 정렬 소규모 진단.

\(e_{\mathrm{a}}>0\)에서 \[A(x,t)=\frac{\|\mathbf{m}_b(x,t)\|}{e_{\mathrm{a}}(x,t)}\] 를 사용하고 혼합 우세는 \[A(x,t)\le \varepsilon_A^{\mathrm{mix}} \label{eq:part07_mix_A_small_kr}\] 를 기대한다. \(e_{\mathrm{a}}=0\)이면 \(A:=0\).

7.3.2.2 (D2) 텐서 이방성 진단(가능할 때).

등방 사영을 \[\mathbf{T}_{\mathrm{iso}}:=\frac{1}{3}\mathrm{tr}(\mathbf{T})\,\mathbf{I}\] 로 두고, Frobenius 노름을 사용해 \[\mathcal{A}_T(x,t) := \begin{cases} \dfrac{\|\mathbf{T}(x,t)-\mathbf{T}_{\mathrm{iso}}(x,t)\|_F}{\mathrm{tr}(\mathbf{T}(x,t))}, & \mathrm{tr}(\mathbf{T})>0,\\[1.2ex] 0, & \mathrm{tr}(\mathbf{T})=0 \end{cases} \label{eq:part07_AT_def_kr}\] 를 정의한다. 혼합 우세는 \[\mathcal{A}_T(x,t)\le \varepsilon_T^{\mathrm{mix}} \label{eq:part07_mix_T_isotropic_kr}\] 를 기대한다.

7.3.2.3 (D3) 확산 유효법칙 잔차 진단(확산 근사를 주장할 때).

CL-ISO의 확산형 플럭스 [eq:part07_S_drift_diffusion_kr]를 주장한다면 잔차를 \[\mathbf{R}_{\mathrm{DD}} := \mathbf{S}+D\nabla e_{\mathrm{a}}-e_{\mathrm{a}}\mathbf{u}_{\mathrm{eff}} \label{eq:part07_R_DD_def_kr}\] 로 두고, 정규화 오차를 \[\eta_{\mathrm{DD}}(x,t):= \frac{\|\mathbf{R}_{\mathrm{DD}}(x,t)\|}{\|\mathbf{S}(x,t)\|+\eta_0}, \qquad \eta_0>0\ \text{(고정된 작은 regularizer)} \label{eq:part07_eta_DD_def_kr}\] 로 정의한다. 혼합-확산 레짐은 \[\eta_{\mathrm{DD}}(x,t)\le \varepsilon_{\mathrm{DD}}^{\mathrm{mix}} \label{eq:part07_mix_DD_good_kr}\] 를 요구한다.

7.3.3.1 기본 닫힘 선택.

\((x,t)\in\mathcal{R}_{\mathrm{mix}}\)에서는 CL-ISO [eq:part07_T_iso_kr]를 기본 선택으로 하고, 강완화 순서가정 [eq:part07_strong_relax_ordering_kr]과 잔차 게이트 [eq:part07_mix_DD_good_kr]가 추가로 만족되면 확산 환원 [eq:part07_S_drift_diffusion_kr]을 사용한다.

7.4.1.1 플럭스 정렬 코사인.

\[c_S(x,t):= \frac{\mathbf{S}(x,t)\cdot k(x,t)}{\|\mathbf{S}(x,t)\|+\eta_0}\in[-1,1], \qquad \eta_0>0. \label{eq:part07_cS_def_kr}\]

7.4.1.2 횡누설 비율.

\[\ell_\perp(x,t):= \frac{\|\mathbf{S}_\perp(x,t)\|}{\|\mathbf{S}(x,t)\|+\eta_0}\in[0,1]. \label{eq:part07_leak_ratio_kr}\] 콜리메이션이 강하면 \(\ell_\perp\approx 0\)이다.

7.4.1.3 부분정렬 범위(진단).

부분정렬은 전형적으로 \[\varepsilon_A^{\mathrm{mix}}<A(x,t)<1-\varepsilon_A^{\mathrm{jet}} \quad \text{또는}\quad a_k(x,t)\gtrsim \varepsilon_k^{\mathrm{jet}} \label{eq:part07_partial_alignment_range_kr}\] 와 같이 중간 정렬/비무시 결함을 갖고, 동시에 \(c_S\)가 중간 큰 값이고 \(\ell_\perp\)가 비영인 경우가 많다(필수는 아님).

7.4.2.1 (M1) 채널(고체 코어) 진단(원통 좌표).

축 \(k=\hat{z}\), 원통좌표 \((R,\phi,z)\)에서 (축대칭 프록시로) 각평균 \[\bar{e}_{\mathrm{a}}(R;z,t):=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} e_{\mathrm{a}}(R,\phi,z,t)\,d\phi\] 를 정의한다. 코어-채널이면 피크가 축에 가깝다: \[R_{\mathrm{peak}}(z,t):=\arg\max_{R\in[0,R_{\max}]}\bar{e}_{\mathrm{a}}(R;z,t) \le \varepsilon_R^{\mathrm{core}}, \label{eq:part07_channel_peak_kr}\] 그리고 중심값이 충분히 크다: \[\bar{e}_{\mathrm{a}}(0;z,t)\ge e_{\min}^{\mathrm{core}}.\]

7.4.2.2 (M2) 홀(빈 중심) 튜브 진단.

피크가 축에서 떨어져 있고 \[R_{\mathrm{peak}}(z,t)\ge R_{\min}^{\mathrm{hole}}>0 \label{eq:part07_hollow_peak_kr}\] 중심이 억제되는 “홀로니스” 지수를 \[H(z,t):= 1-\frac{\bar{e}_{\mathrm{a}}(0;z,t)}{\max_R\bar{e}_{\mathrm{a}}(R;z,t)+\eta_0} \ge H_{\min}^{\mathrm{hole}} \label{eq:part07_hollowness_kr}\] 로 정의한다. \(H\approx 1\)이면 깊은 홀.

7.4.2.3 (M3) 코로나/쉘(구대칭 평균) 진단.

구평균을 \[\langle e_{\mathrm{a}}\rangle(r,t):=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{S}^2} e_{\mathrm{a}}(r\omega,t)\,d\omega\] 로 정의한다. 쉘이면 최대가 \(r>0\)에서 나타난다: \[r_c(t):=\arg\max_{r\in[0,r_{\max}]}\langle e_{\mathrm{a}}\rangle(r,t), \qquad r_c(t)\ge r_{\min}^{\mathrm{shell}}, \label{eq:part07_shell_peak_kr}\] 또한 중심 억제 지수 \[H_{\mathrm{sph}}(t):= 1-\frac{\langle e_{\mathrm{a}}\rangle(0,t)}{\max_r\langle e_{\mathrm{a}}\rangle(r,t)+\eta_0} \ge H_{\min}^{\mathrm{shell}}. \label{eq:part07_shell_hollowness_kr}\]

7.4.3.1 축대칭 텐서 형식(기본).

\[\mathbf{T} = p_\perp\,(\mathbf{I}-k\otimes k) + p_\parallel\,(k\otimes k), \qquad p_\perp\ge 0,\ p_\parallel\ge 0. \label{eq:part07_T_axis_form_kr}\] 총 스케일을 \[p(x,t):=\kappa_T(x,t)\,e_{\mathrm{a}}(x,t),\qquad \kappa_T\ge 0,\ \delta(\kappa_T)=L^2T^{-2}\] 로 두고, 무차원 이방성 파라미터 \(\alpha(x,t)\)로 \[p_\perp:=p\,(1-\alpha),\qquad p_\parallel:=p\,(1+2\alpha) \label{eq:part07_pperp_ppar_alpha_kr}\] 를 정의한다. 그러면 \[\mathrm{tr}(\mathbf{T})=2p_\perp+p_\parallel=3p\] 로 trace 스케일이 보존된다.

7.4.3.2 \(\alpha\)의 PSD 제약.

\(p\ge 0\)에서 PSD는 \[1-\alpha\ge 0,\qquad 1+2\alpha\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -\frac{1}{2}\le \alpha\le 1 \label{eq:part07_alpha_bounds_kr}\] 와 동치다.

7.4.3.3 혼합이 강할수록 이방성 억제: 보간 규칙.

혼합 가중치 \(w_\lambda=\lambda/(1+\lambda)\)와 정렬도 \(A\)를 사용해 \[g_A:[0,1]\to[0,1]\] 를 보간함수로 둔다. 게이트 친화적 선택: \[g_A(A):= \begin{cases} 0, & A\le A_0,\\[0.5ex] \dfrac{A-A_0}{1-A_0}, & A_0< A < 1,\\[1.0ex] 1, & A=1, \end{cases} \qquad A_0\in[0,1). \label{eq:part07_gA_def_kr}\] 그리고 \[\alpha(x,t):=\alpha_{\max}\,\big(1-w_\lambda(x,t)\big)\,g_A\big(A(x,t)\big), \qquad \alpha_{\max}\in[0,1]. \label{eq:part07_alpha_interp_kr}\] 이때

• \(\lambda\)가 크면(\(w_\lambda\approx 1\)) \(\alpha\approx 0\) \(\Rightarrow\) 등방,

• 정렬이 약하면(\(A\le A_0\)) \(\alpha=0\) \(\Rightarrow\) 등방,

• 정렬이 강하고 혼합이 약하면 \(\alpha\to \alpha_{\max}\)로 증가 \(\Rightarrow\) 이방성 증가.

7.4.3.4 부분정렬 닫힘(CL-PA).

결과적으로 \[\mathbf{T} = \kappa_T e_{\mathrm{a}} \Big[(1-\alpha)(\mathbf{I}-k\otimes k)+(1+2\alpha)(k\otimes k)\Big], \qquad \alpha=\alpha_{\max}(1-w_\lambda)g_A(A) \label{eq:part07_T_partial_alignment_closure_kr}\] 를 CL-PA로 정의한다. 이는 기본적으로 HYP이며, \((\alpha_{\max},A_0,g_A)\)는 버전마다 고정되어야 한다.

7.4.3.5 이방 완화(선택).

부분정렬에서는 완화도 이방일 수 있다: \[\mathbf{B}=B_\perp(\mathbf{I}-k\otimes k)+B_\parallel(k\otimes k), \qquad B_\perp>0,\ B_\parallel>0. \label{eq:part07_B_aniso_kr}\] 이는 선택적 HYP이며, 강정렬 진단(§7.5)에서 중요해질 수 있다.

7.5.1.1 (J1) 정렬도 포화.

\[A(x,t)\ge 1-\varepsilon_A^{\mathrm{jet}}. \label{eq:part07_jet_A_high_kr}\]

7.5.1.2 (J2) 정렬결함 소규모.

\[a_k(x,t)\le \varepsilon_k^{\mathrm{jet}}. \label{eq:part07_jet_ak_small_kr}\] [eq:part07_A_identity_kr]에 의해 이때 \(|\xi|\approx A\approx 1\)이다.

7.5.1.3 (J3) 플럭스 콜리메이션.

\[c_S(x,t)\ge 1-\varepsilon_S^{\mathrm{jet}} \quad \text{그리고/또는}\quad \ell_\perp(x,t)\le \varepsilon_\perp^{\mathrm{jet}}. \label{eq:part07_jet_flux_collimation_kr}\]

7.5.1.4 (J4) 텐서 이방성(가능할 때).

축대칭 형식 [eq:part07_T_axis_form_kr]에서 비율을 \[r_T(x,t):=\frac{p_\parallel(x,t)}{p_\perp(x,t)+\eta_0} \label{eq:part07_rT_def_kr}\] 로 두고, \[r_T(x,t)\ge r_{T,\min}^{\mathrm{jet}}>1 \label{eq:part07_rT_gate_kr}\] 를 강정렬의 전형적 지표로 둔다.

7.5.1.5 (J5) 제트튜브 기하 게이트(튜브 모델을 쓸 때).

튜브 반지름 \(R_j(z,t)\)와 축방향 스케일 \(L_z\)가 정의되면 세장성 \[\varepsilon_{\mathrm{geom}}:=\frac{\sup_{z,t}R_j(z,t)}{L_z}\ll 1 \label{eq:part07_slenderness_kr}\] 을 요구하고, 튜브 경계에서 횡누설 게이트 \[|S_R(R_j,z,t)| \le \varepsilon_{\mathrm{leak}}^{\mathrm{jet}}\ |S_z(R_j,z,t)| \label{eq:part07_leak_boundary_gate_kr}\] 를 요구한다.

7.5.3.1 콜리메이션 조건(정지/강완화 횡균형).

콜리메이션은 \(\mathbf{S}_\perp\approx 0\) 또는 \(\ell_\perp\ll 1\)을 의미한다. 횡방향에서 \(\partial_t\mathbf{S}_\perp\)를 무시하면 [eq:part07_Sperp_balance_kr]는 \[\nabla_\perp p_\perp \approx e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_\perp \label{eq:part07_transverse_equilibrium_kr}\] 를 준다. 즉 “횡구동(포텐셜/외력)”이 존재한다면 그것을 상쇄할 횡방향 “부피압 기울기”가 필요하거나, 또는 \(B_\perp\)가 충분히 커서 \(\mathbf{S}_\perp\)를 강하게 감쇠시키는 구조가 필요하다. [eq:part07_transverse_equilibrium_kr]는 강정렬 진단 방정식으로 사용된다.

7.6.2.1 혼합\(\rightarrow\)부분정렬.

다음 중 하나가 지속적으로 발생하면 전이를 선언한다: \[w_\lambda < w_{\lambda,\min}^{\mathrm{mix}} \quad\text{또는}\quad A>\varepsilon_A^{\mathrm{mix}} \quad\text{또는}\quad \mathcal{A}_T>\varepsilon_T^{\mathrm{mix}}.\]

7.6.2.2 부분정렬\(\rightarrow\)강정렬(제트).

정렬이 포화되고 결함이 붕괴하며 누설이 줄면: \[A\ge 1-\varepsilon_A^{\mathrm{jet}},\qquad a_k\le \varepsilon_k^{\mathrm{jet}},\qquad \ell_\perp\le \varepsilon_\perp^{\mathrm{jet}}\] (튜브 사용 시 추가로 세장/누설 게이트 포함).

7.6.2.3 강정렬\(\rightarrow\)부분/혼합(탈콜리메이션).

제트 게이트들 중 하나 이상이 지속적으로 실패하면(예: \(a_k\) 증가, \(\ell_\perp\) 증가, \(A\) 감소) 전이를 선언한다. 혼합이 증가(\(\lambda\) 증가)하는 경우 혼합\(\rightarrow\)부분정렬의 역방향으로도 이동할 수 있다.

7.6.2.4 히스테리시스(선택; 선언 필수).

레짐 스위칭 잡음을 줄이기 위해 상향/하향 임계치를 다르게 둘 수 있다. 이 경우 모든 히스테리시스 파라미터는 사전 고정되어야 하며, 그렇지 않으면 사후 튜닝이 된다.

7.6.3.1 (BG1) 경계 플럭스 호환.

닫힌 경계(\(\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}=0\))에서 지속적인 외부 유출을 가정하는 레짐은 성립할 수 없다. 제트가 영역 밖으로 나간다면 열린 경계(지정 플럭스/유입 분포)로 모델링해야 한다.

7.6.3.2 (BG2) 축장 \(k\)의 곡률/변화 게이트.

축대칭 닫힘은 \(k\)가 닫힘 스케일에서 천천히 변한다는 가정을 암묵적으로 포함한다. 횡방향 기울기 크기를 \[\mathcal{K}_k(x,t):=\|(\mathbf{I}-k\otimes k)\,\nabla k\|_F\] 로 두고, 닫힘 길이스케일 \(L_{\mathrm{cl}}\)에 대해 \[\mathcal{K}_k(x,t)\,L_{\mathrm{cl}}\le \varepsilon_k^{\mathrm{curv}} \label{eq:part07_k_curv_gate_kr}\] 를 요구한다. 실패 시 그 영역에서는 축대칭 닫힘을 쓰지 않거나, \(k\) 변화 항을 포함하는 다른 닫힘 클래스를 정의해야 한다.

7.6.3.3 (BG3) 축대칭 주장 일관성(가능할 때).

원통좌표에서 축대칭을 주장한다면 \(\phi\)-변화가 작아야 한다: \[\frac{\|\partial_\phi e_{\mathrm{a}}\|}{\|e_{\mathrm{a}}\|+\eta_0}\le \varepsilon_\phi^{\mathrm{axi}}, \qquad \frac{\|\partial_\phi \rho\|}{\|\rho\|+\eta_0}\le \varepsilon_\phi^{\mathrm{axi}}.\] 적절한 국소 노름(예: 이웃 영역 \(L^2\))을 선택하는 것은 SPEC로 고정한다.

7.7.1.1 입력(최소).

\[\rho,\ e_{\mathrm{a}},\ \mathbf{S},\ k,\ \lambda,\ \mu,\ \Gamma.\] 가능하면 \[\mathbf{m}_b\ (\text{또는 }A,a_k,\xi),\qquad \mathbf{T}\ (\text{측정 또는 재구성})\] 를 포함한다. \(\mathbf{m}_b\)가 없으면 정렬 프록시를 SPEC로 정의해야 하며, 프록시의 정확도/오류도 게이트로 다루어야 한다.

7.7.1.2 계산 진단량.

고정된 작은 \(\eta_0>0\)를 두고 \[w_\lambda=\frac{\lambda}{1+\lambda},\quad A=\frac{\|\mathbf{m}_b\|}{e_{\mathrm{a}}+\eta_0},\quad a_k=\frac{\|\mathbf{m}_b-(\mathbf{m}_b\cdot k)k\|}{e_{\mathrm{a}}+\eta_0},\] \[c_S=\frac{\mathbf{S}\cdot k}{\|\mathbf{S}\|+\eta_0},\quad \ell_\perp=\frac{\|\mathbf{S}-(\mathbf{S}\cdot k)k\|}{\|\mathbf{S}\|+\eta_0}\] 를 계산한다. \(\mathbf{T}\)가 있으면 \[\mathcal{A}_T=\frac{\|\mathbf{T}-\frac{1}{3}\mathrm{tr}(\mathbf{T})\mathbf{I}\|_F}{\mathrm{tr}(\mathbf{T})+\eta_0}\] 도 계산한다. 형태 진단(채널/홀/쉘)은 §7.4.2의 지수를 사용한다.

7.7.2.1 G0: 단체 허용성.

\[0\le \rho\le 1,\quad 0\le e_{\mathrm{a}}\le 1,\quad 0\le e_{\mathrm{bg}}:=1-\rho-e_{\mathrm{a}}\le 1.\]

7.7.2.2 G1: 정렬 항등식(정렬 진단을 쓸 때).

\(e_{\mathrm{a}}>0\)이고 \(A,\xi,a_k\)를 함께 계산한다면 \[|A^2-\xi^2-a_k^2|\le \varepsilon_{\mathrm{id}}\] 를 요구한다.

7.7.2.3 G2: 닫힘 실현가능성(텐서 포함 시).

선택될 닫힘이 내포하는 \(\mathbf{T}\)는 \[\mathbf{T}\succeq 0,\qquad \|\mathbf{S}\|^2\le e_{\mathrm{a}}\ \mathrm{tr}(\mathbf{T})\] 를 만족해야 한다(PSD 및 Cauchy–Schwarz 게이트).

7.7.2.4 G3: 기하 게이트(축대칭/제트 닫힘을 선택할 때).

[eq:part07_k_curv_gate_kr]을 만족해야 하며, 축대칭을 주장한다면 \(\phi\)-변화 게이트도 만족해야 한다.

어느 필수 게이트라도 실패하면 절차는 FAIL과 실패 게이트 라벨을 출력하고 종료한다(닫힘 선택 금지).

8.1.1.1 게이트의 3요소.

게이트는 다음으로 정의한다:

• 실수값 판정변수(decision variable) \(q(x,t)\in\mathbb{R}\),

• 임계치(threshold) \(q_c\in\mathbb{R}\),

• 게이트 상태 \(G(x,t)\in[0,1]\)로의 사상.

8.1.1.2 하드(on/off) 게이트.

Heaviside step으로 정의: \[G_{\mathrm{hard}}(x,t):=H\!\big(q(x,t)-q_c\big) = \begin{cases} 0,& q<q_c,\\ 1,& q\ge q_c. \end{cases} \label{eq:part08_hard_gate_kr}\] 하드는 불연속이므로 수치/약해 해석에서는 주의가 필요하다.

8.1.1.3 소프트(평활) 게이트.

수치적 안정과 약해 정식화를 위해 평활화가 흔히 필요하다. 표준 선택: \[G_{\mathrm{soft}}(x,t) := \sigma\!\left(\frac{q(x,t)-q_c}{\Delta_q}\right), \qquad \sigma(z):=\frac{1}{1+e^{-z}}, \qquad \Delta_q>0, \label{eq:part08_soft_gate_logistic_kr}\] 또는 \[G_{\mathrm{soft}}(x,t) := \frac{1}{2}\left[1+\tanh\!\left(\frac{q(x,t)-q_c}{2\Delta_q}\right)\right]. \label{eq:part08_soft_gate_tanh_kr}\] 게이트 폭 \(\Delta_q\)는 SPEC이지만, 버전 LOCK으로 고정되어야 한다(사후 튜닝 금지).

8.1.1.4 게이트 면과 임계반경.

게이트 면은 \(q=q_c\)인 점들의 집합이다. 구대칭에서 \(q=q(r,t)\)이면 게이트 면은 구면이고, 임계반경 \(r=r_c(t)\)는 \[q(r_c(t),t)=q_c \label{eq:part08_critical_radius_def_kr}\] 로 정의된다. \(q(r,t)\)가 \(r\)에 대해 단조이면 \(r_c\)는 유일하다.

8.1.2.1 NOT.

\[\neg G := 1-G.\]

8.1.2.2 AND.

\[G_{\mathrm{AND}}:=\prod_{i=1}^n G_i. \label{eq:part08_gate_and_kr}\] 하드 게이트면 정확한 AND, 소프트 게이트면 “모두 충분히 만족”을 부드럽게 표현한다.

8.1.2.3 OR.

\[G_{\mathrm{OR}}:=1-\prod_{i=1}^n (1-G_i). \label{eq:part08_gate_or_kr}\]

8.1.2.4 운영 규칙.

게이트 합성 형태([eq:part08_gate_and_kr]–[eq:part08_gate_or_kr])와 임계치는 SPEC이며, 게이트 평가 전에 사전 고정되어야 한다. 그렇지 않으면 게이트가 “조절 노브”가 된다.

8.1.3.1 (i) 포화 판정변수(로딩 비).

\[\chi_\Gamma(x,t):=\frac{e_{\mathrm{a}}(x,t)}{K_\Gamma(x,t)+\eta_0}, \qquad K_\Gamma>0,\qquad \eta_0>0\ \text{(고정된 작은 regularizer)}. \label{eq:part08_chi_gamma_kr}\] \(\chi_\Gamma\gg 1\)이면 포화 영역.

8.1.3.2 (ii) 초킹 판정변수(플럭스 비).

속도 제한 \(c>0\)에 대해 \[\chi_S(x,t):=\frac{\|\mathbf{S}(x,t)\|}{c\,e_{\mathrm{a}}(x,t)+\eta_0}, \qquad \chi_S\in[0,\infty). \label{eq:part08_chi_S_kr}\] 속도-지지 가정 하에서 허용성은 \(\chi_S\le 1\)이고, \(\chi_S\to 1\)이면 초킹.

8.1.3.3 (iii) 구동/포텐셜 판정변수.

\(\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}=-\nabla\Phi_{\mathrm{eff}}+\cdots\)일 때(Part 06), \[\chi_F(x,t):=\frac{\|\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}(x,t)\|}{B_{\mathrm{ref}}(x,t)\,c+\eta_0} \label{eq:part08_chi_F_kr}\] 를 정의한다. 등방 완화에서는 \(B_{\mathrm{ref}}=B\)로 둘 수 있다. 강완화 균형에서 \(\chi_F\gtrsim 1\)이면 초킹 유발 가능성이 커진다(§8.3.3).

8.1.3.4 (iv) 처리율(표면 플럭스).

표면 \(\Sigma\)의 법선 \(\mathbf{n}\)에 대해 \[j_\Sigma(x,t):=\mathbf{S}(x,t)\cdot\mathbf{n}(x),\] 전역 처리율을 \[\mathcal{J}_\Sigma(t):=\int_\Sigma \mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dA \label{eq:part08_throughput_surface_kr}\] 로 둔다.

8.1.3.5 (v) 기하 판정변수(반경).

구대칭 문제에서는 \(q=r\) 자체와 임계 \(r_c\)로 영역(내부/외부)을 정의하는 게이트가 자연스럽다.

8.2.2.1 (A1) 차원과 비음수.

\[\delta(\Gamma)=T^{-1}, \qquad \Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}})\ge 0 \ \ \text{for } e_{\mathrm{a}}\in[0,1]. \label{eq:part08_gamma_dim_pos_kr}\]

8.2.2.2 (A2) 영입력 일관성.

\[\Gamma(x,t;0)=0. \label{eq:part08_gamma_zero_kr}\]

8.2.2.3 (A3) 유계성(포화).

선언된 용량 \(\Gamma_{\max}(x,t)\ge 0\)가 존재하여 \[0\le \Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}})\le \Gamma_{\max}(x,t) \quad \text{for all } e_{\mathrm{a}}\in[0,1] \label{eq:part08_gamma_bounded_kr}\] 이어야 한다.

8.2.2.4 (A4) 정칙성(해의 존재/유일성과 재현성).

각 \((x,t)\)에서 \(e_{\mathrm{a}}\mapsto \Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}})\)는 \([0,1]\)에서 국소 Lipschitz: \[|\Gamma(e_1)-\Gamma(e_2)|\le L_\Gamma |e_1-e_2| \quad \text{for some }L_\Gamma<\infty. \label{eq:part08_gamma_lipschitz_kr}\] 하드 포화(구간선형)는 가능하지만 수치 안정성을 별도로 점검해야 한다.

8.2.2.5 (A5) 단조성(선택; 흔한 물리 요구).

많은 해석에서는 \[\partial_{e_{\mathrm{a}}}\Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}})\ge 0 \label{eq:part08_gamma_monotone_kr}\] 를 요구한다. 비단조 \(\Gamma\)를 쓸 경우 메커니즘과 게이트 검증을 명시해야 한다.

8.2.4.1 (G1) Hill/Michaelis–Menten 포화(매끄러움, 급경사 조절).

\(K_\Gamma>0\), Hill 지수 \(n\ge 1\)에 대해 \[g_{\mathrm{Hill}}(e_{\mathrm{a}}):= \frac{e_{\mathrm{a}}^n}{K_\Gamma^n+e_{\mathrm{a}}^n}. \label{eq:part08_gamma_hill_kr}\] 성질: \[g_{\mathrm{Hill}}(0)=0,\qquad 0\le g_{\mathrm{Hill}}\le 1,\qquad e_{\mathrm{a}}\gg K_\Gamma \Rightarrow g_{\mathrm{Hill}}\to 1,\] 미분: \[g'_{\mathrm{Hill}}(e_{\mathrm{a}}) = \frac{n K_\Gamma^n e_{\mathrm{a}}^{n-1}}{(K_\Gamma^n+e_{\mathrm{a}}^n)^2}\ge 0.\]

8.2.4.2 (G2) 지수 포화(빠른 접근).

\[g_{\exp}(e_{\mathrm{a}}):=1-\exp\!\left(-\frac{e_{\mathrm{a}}}{K_\Gamma}\right). \label{eq:part08_gamma_exp_kr}\] \[g_{\exp}(0)=0,\qquad 0\le g_{\exp}<1,\qquad g'_{\exp}(e_{\mathrm{a}})=\frac{1}{K_\Gamma}e^{-e_{\mathrm{a}}/K_\Gamma}\ge 0.\]

8.2.4.3 (G3) 유리 포화(저차).

\[g_{\mathrm{rat}}(e_{\mathrm{a}}):=\frac{e_{\mathrm{a}}}{K_\Gamma+e_{\mathrm{a}}}. \label{eq:part08_gamma_rational_kr}\] 이는 [eq:part08_gamma_hill_kr]의 \(n=1\) 특수형이다.

8.2.4.4 (G4) 구간선형 하드 포화(비매끄러움).

\[g_{\mathrm{lin}}(e_{\mathrm{a}}):=\min\left\{\frac{e_{\mathrm{a}}}{K_\Gamma},\,1\right\}. \label{eq:part08_gamma_piecewise_kr}\] \(e_{\mathrm{a}}=K_\Gamma\)에서 미분 불연속이 존재한다.

8.2.4.5 (G5) 이동 로지스틱(포화 개시를 게이트로 표현) + \(g(0)=0\) 강제.

\[\tilde{g}(e_{\mathrm{a}}):=\sigma\!\left(\frac{e_{\mathrm{a}}-K_\Gamma}{\Delta_\Gamma}\right), \qquad \tilde{g}_0:=\tilde{g}(0),\] 로 두고 정규화하여 \[g_{\mathrm{log}}(e_{\mathrm{a}}):= \frac{\tilde{g}(e_{\mathrm{a}})-\tilde{g}_0}{1-\tilde{g}_0}, \qquad \Delta_\Gamma>0. \label{eq:part08_gamma_logistic_shifted_kr}\] 그러면 \(g_{\mathrm{log}}(0)=0\)이고, \(e_{\mathrm{a}}\)가 커지면 \(g_{\mathrm{log}}\to 1\)에 접근한다(파라미터 범위는 버전 LOCK).

8.3.1.1 명제 8.1(플럭스 상한).

[eq:part08_velocity_support_bound_kr]와 \(f\ge 0\)이면 \[\|\mathbf{S}(x,t)\|\le c\,e_{\mathrm{a}}(x,t) \quad \text{for all }(x,t). \label{eq:part08_flux_bound_main_kr}\]

8.3.1.2 증명.

\(\mathbf{S}=\int_{\mathcal{V}_c} v f\,dv\)이므로 \[\|\mathbf{S}\| \le \int_{\mathcal{V}_c}\|v\| f\,dv \le \int_{\mathcal{V}_c} c f\,dv = c\int_{\mathcal{V}_c} f\,dv = c e_{\mathrm{a}}.\] \(\square\)

8.3.1.3 2차 모멘트(trace) 제약과 닫힘 게이트.

\[\mathrm{tr}(\mathbf{T})(x,t)=\int_{\mathcal{V}_c}\|v\|^2 f\,dv \le c^2\int_{\mathcal{V}_c} f\,dv = c^2 e_{\mathrm{a}}(x,t). \label{eq:part08_Ttrace_bound_kr}\] 따라서 닫힘이 \(\mathrm{tr}(\mathbf{T})>c^2 e_{\mathrm{a}}\)를 유도하면, 동일한 속도 제한 가정과 모순이므로 닫힘 자체가 FAIL이다.

8.3.2.1 초킹 비율.

[eq:part08_chi_S_kr]의 \[\chi_S=\frac{\|\mathbf{S}\|}{c e_{\mathrm{a}}+\eta_0}\] 를 사용한다. 속도-상한이 물리적으로 유효한 이론에서는 허용성은 \(\chi_S\le 1\)이다.

8.3.2.2 정의(초킹).

플럭스가 상한에 근접하면 초킹이라 한다: \[\chi_S(x,t)\ge \theta_{\mathrm{choke}}, \qquad \theta_{\mathrm{choke}}\in(0,1)\ \text{LOCK}. \label{eq:part08_choking_def_kr}\] 전형적 값은 \(\theta_{\mathrm{choke}}\approx 0.9\)이지만, 본 문서에서는 임계치 자체를 버전 LOCK으로 고정한다.

8.3.3.1 초킹 조건(일반형).

\[\|\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}(x,t)\|>c\,e_{\mathrm{a}}(x,t) \ \Longrightarrow\ \text{초킹(또는 다른 레짐/메커니즘介入)이 필요}. \label{eq:part08_choking_condition_generic_kr}\] 이때 실제 \(\mathbf{S}\)는 [eq:part08_flux_bound_main_kr]을 만족하도록 제한되어야 한다.

8.3.3.2 CL-ISO(등방 닫힘)에서의 초킹 조건.

\(\mathbf{T}=\kappa_T e_{\mathrm{a}}\mathbf{I}\), \(\mathbf{B}=B\mathbf{I}\)이면 \[\nabla\cdot\mathbf{T}=\nabla(\kappa_T e_{\mathrm{a}})\] 이므로 \[\mathbf{S}_{\mathrm{dem}} = -\frac{1}{B}\nabla(\kappa_T e_{\mathrm{a}}) +\frac{e_{\mathrm{a}}}{B}\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}. \label{eq:part08_S_demand_iso_kr}\] 따라서 초킹은 \[\left\| -\nabla(\kappa_T e_{\mathrm{a}}) +e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_{\mathrm{eff}} \right\| > B\,c\,e_{\mathrm{a}} \label{eq:part08_choking_iso_condition_kr}\] 에서 기대된다. 만약 \(\nabla(\kappa_T e_{\mathrm{a}})\)가 작다면 단순 트리거는 \[\|\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}\|>Bc\] 이며 이는 \(\chi_F\)와 연결된다.

8.3.4.1 하드 리미터.

\[\mathcal{L}_{\mathrm{hard}}(\mathbf{S}_{\mathrm{dem}};c e_{\mathrm{a}}) := \begin{cases} \mathbf{S}_{\mathrm{dem}}, & \|\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}\|\le c e_{\mathrm{a}},\\[0.75ex] c e_{\mathrm{a}}\dfrac{\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}}{\|\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}\|}, & \|\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}\|> c e_{\mathrm{a}}. \end{cases} \label{eq:part08_limiter_hard_kr}\]

8.3.4.2 스무스 리미터(수치 권장).

\[\mathcal{L}_{\mathrm{smooth}}(\mathbf{S}_{\mathrm{dem}};c e_{\mathrm{a}}) := c e_{\mathrm{a}}\, \tanh\!\left(\frac{\|\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}\|}{c e_{\mathrm{a}}+\eta_0}\right)\, \frac{\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}}{\|\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}\|+\eta_0}. \label{eq:part08_limiter_smooth_kr}\] 이때 \(\|\mathcal{L}_{\mathrm{smooth}}\|\le c e_{\mathrm{a}}\)이며 연속이다.

8.3.4.3 게이트 관점.

리미터는 \[G_{\mathrm{choke}}=H\!\big(\|\mathbf{S}_{\mathrm{dem}}\|-c e_{\mathrm{a}}\big)\] 에 의해 “그대로”와 “클램프”를 전환하는 구현이다.

8.3.5.1 예: 역제곱 구동.

\(|F_r(r)|=K_F/r^2\), \(B\) 상수이면 \[r_{\mathrm{ch}}=\sqrt{\frac{K_F}{B c}}. \label{eq:part08_rch_inverse_square_kr}\] 이는 “플럭스 용량 상한”만으로 생기는 발현적 임계반경의 구체식이다.

8.4.1.1 국소 평균 수송 속도.

\(e_{\mathrm{a}}>0\)에서 이동상의 평균 수송 속도를 \[\mathbf{u}(x,t):=\frac{\mathbf{S}(x,t)}{e_{\mathrm{a}}(x,t)} \label{eq:part08_u_def_kr}\] 로 정의한다. 플럭스 상한 [eq:part08_flux_bound_main_kr]은 즉시 \[\|\mathbf{u}(x,t)\|\le c \label{eq:part08_u_bound_kr}\] 를 준다(유한 속도 채널).

8.4.1.2 표면 처리율 상한.

임의의 표면 \(\Sigma\)에 대해 \[|\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}|\le \|\mathbf{S}\|\le c e_{\mathrm{a}},\] 이므로 \[|\mathcal{J}_\Sigma(t)| = \left|\int_\Sigma \mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dA\right| \le \int_\Sigma |\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}|\,dA \le c\int_\Sigma e_{\mathrm{a}}\,dA. \label{eq:part08_throughput_bound_surface_kr}\] 구대칭에서 \(\mathcal{J}(r,t)=4\pi r^2 S_r(r,t)\)이므로 점wise 상한 \(|S_r|\le c e_{\mathrm{a}}\)는 \[|\mathcal{J}(r,t)|\le 4\pi r^2 c\,e_{\mathrm{a}}(r,t) \label{eq:part08_throughput_spherical_bound_kr}\] 을 준다.

8.4.2.1 (M1) 속도 지지 가정.

[eq:part08_velocity_support_bound_kr]를 공리/가정으로 둔다. 그러면 [eq:part08_flux_bound_main_kr], [eq:part08_u_bound_kr]가 직접 도출된다.

8.4.2.2 (M2) 격자 스텝-속도 실현.

PART 03의 단위 실현에서 길이 스텝 \(a\)와 시간 스텝 \(\Delta t\)가 있으면 \[c:=\frac{a}{\Delta t} \label{eq:part08_c_from_lattice_kr}\] 로 정의할 수 있다. “활성상이 한 스텝에서 최대 한 셀만 이동” 같은 미시 규칙은 \(\|v\|\le c\)를 효과적으로 구현한다.

두 방법 모두 거시 게이트 \(\|\mathbf{S}\|\le c e_{\mathrm{a}}\)를 동일하게 유도한다.

8.4.3.1 CL-ISO 제약.

CL-ISO에서 \(\mathbf{T}=\kappa_T e_{\mathrm{a}}\mathbf{I}\)이므로 \(\mathrm{tr}(\mathbf{T})=3\kappa_T e_{\mathrm{a}}\). [eq:part08_Ttrace_bound_kr]로부터 \[3\kappa_T e_{\mathrm{a}}\le c^2 e_{\mathrm{a}} \quad\Longrightarrow\quad \kappa_T\le \frac{c^2}{3}. \label{eq:part08_kappaT_bound_kr}\] 즉 \(c\)가 유한하면 \(\kappa_T\)는 임의로 클 수 없다.

8.4.3.2 축대칭 닫힘 제약.

\(\mathbf{T}=p_\perp(\mathbf{I}-k\otimes k)+p_\parallel(k\otimes k)\)이면 \[\mathrm{tr}(\mathbf{T})=2p_\perp+p_\parallel,\] 따라서 속도 제한은 \[2p_\perp+p_\parallel \le c^2 e_{\mathrm{a}} \label{eq:part08_axis_trace_bound_kr}\] 를 강제한다. 어떤 파라미터화(예: \(p_\perp=p(1-\alpha)\), \(p_\parallel=p(1+2\alpha)\), \(p=\kappa_T e_{\mathrm{a}}\))도 이 제약을 위반하면 FAIL이다.

8.5.1.1 게이트 규칙.

하드 게이트의 판정변수는 \(q\) 대신 \(q_{\ell_{\min}}\)로 평가하는 것을 허용한다(서브격자 잡음에 의한 오작동 방지). 이는 SPEC이며 버전 LOCK으로 고정한다.

8.6.1.1 초킹이 추가 지연을 만드는 이유.

초킹 영역에서는 \[\|\mathbf{S}\|\approx c e_{\mathrm{a}},\qquad \chi_S\approx 1\] 로 포화되어, 외부 구동이 더 커져도 처리율이 증가하지 않는다. 그 결과 시스템은 플럭스를 키우는 대신 국소 축적(그래디언트 형성 또는 \(e_{\mathrm{a}}\) 증가)을 통해 “압력/구동”을 흡수하게 되고, 외부 영역의 응답은 지연된다.

8.6.1.2 구대칭 이동시간(기본 추정).

\(e_{\mathrm{a}}>0\)에서 \(u_r=S_r/e_{\mathrm{a}}\)로 두면 \(r_1\to r_2\)의 이동시간은 \[t_{\mathrm{travel}}\approx \int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{u_r(r,\cdot)}, \qquad |u_r|\le c. \label{eq:part08_travel_time_integral_kr}\] 초킹은 \(|u_r|\approx c\)를 강제하여 최소 국소 시간밀도 \(dr/c\)를 만든다.

8.6.2.1 최소 제트 발현 게이트(요약).

정렬 진단(PART 07): \[A=\frac{\|\mathbf{m}_b\|}{e_{\mathrm{a}}},\qquad a_k=\frac{\|\mathbf{m}_b-(\mathbf{m}_b\cdot k)k\|}{e_{\mathrm{a}}},\qquad \ell_\perp=\frac{\|\mathbf{S}-(\mathbf{S}\cdot k)k\|}{\|\mathbf{S}\|+\eta_0}.\] 이를 이용해 하드 게이트를 \[G_{\mathrm{jet}} = H\!\big(A-(1-\varepsilon_A^{\mathrm{jet}})\big)\; H\!\big(\varepsilon_k^{\mathrm{jet}}-a_k\big)\; H\!\big(\varepsilon_\perp^{\mathrm{jet}}-\ell_\perp\big) \label{eq:part08_jet_gate_kr}\] 로 정의한다. \(G_{\mathrm{jet}}=1\)이면 선택 트리는 CL-JET(축대칭 제트 닫힘)을 선택한다.

8.6.2.2 처리율(축방향 용량) 기반 보조 신호.

축 \(k\)에 대해 축방향 처리율 비를 \[\chi_{\parallel}(x,t):= \frac{\mathbf{S}(x,t)\cdot k(x,t)}{c\,e_{\mathrm{a}}(x,t)+\eta_0} \label{eq:part08_chi_parallel_kr}\] 로 두면, 제트 발현은 흔히 \[\chi_{\parallel}\to 1,\qquad \ell_\perp\to 0\] 와 같이 “축방향은 용량에 근접 + 횡누설 억제”라는 동시 신호를 동반한다. 이는 관측적으로도 강한 콜리메이션의 지표가 된다.

8.6.3.1 초킹/격리 코어의 근사 로컬 모델.

어떤 영역 \(\Omega_c\)에서 \[\nabla\cdot\mathbf{S}\approx 0\] (예: \(\mathbf{S}\approx 0\) 또는 용량 제한으로 국소적으로 거의 발산이 없음)이라면, [eq:part08_core_rho_kr]–[eq:part08_core_ea_kr]는 [eq:part08_phase_ode_rho_kr]–[eq:part08_phase_ode_ea_kr]의 로컬 ODE로 근사된다. 또한 \(e_{\mathrm{tot}}=E\)가 국소적으로 거의 상수라면 \(\rho=E-e_{\mathrm{a}}\)이므로 \[\dot{e}_{\mathrm{a}} = \mu(E-e_{\mathrm{a}})-\Gamma(e_{\mathrm{a}}). \label{eq:part08_core_reduced_ode_kr}\]

8.6.3.2 평형과 포화 플래토.

평형 \(e_{\mathrm{a}}^\star\)는 \[\mu(E-e_{\mathrm{a}}^\star)=\Gamma(e_{\mathrm{a}}^\star) \label{eq:part08_equilibrium_condition_kr}\] 를 만족한다. \(\Gamma\)가 \(\Gamma_{\max}\)로 강하게 포화되면, 운용점에서 \(\Gamma'(e_{\mathrm{a}}^\star)\)가 작아져 완화가 느려질 수 있다(용량-제한 플래토).

8.6.3.3 선형화 완화율.

[eq:part08_core_reduced_ode_kr]를 \(e_{\mathrm{a}}^\star\) 주변에서 선형화하면 \[\dot{\delta e}=-(\mu+\Gamma'(e_{\mathrm{a}}^\star))\,\delta e\] 이므로 완화시간은 \[\tau_{\mathrm{core}}=\frac{1}{\mu+\Gamma'(e_{\mathrm{a}}^\star)}. \label{eq:part08_core_relax_time_kr}\] 포화가 강하면 \(\Gamma'(e_{\mathrm{a}}^\star)\approx 0\)이어서 \(\tau_{\mathrm{core}}\approx 1/\mu\)가 되고, 포화 전 급경사 구간에서는 \(\Gamma'\)가 커져 더 빠른 완화가 가능하다.

8.6.4.1 (S1) 시간지연.

하한 \(L/c\)가 존재하며 초킹이 지연을 증폭한다. 진단: 내부에서 \(\chi_S\)가 1에 근접하고, 외부에서 \(e_{\mathrm{a}}\) 변화가 늦게 도달.

8.6.4.2 (S2) 제트 발현.

정렬/누설 게이트 교차 사건. 진단: [eq:part08_jet_gate_kr]의 \(G_{\mathrm{jet}}\)가 켜지고, 동시에 \(\chi_{\parallel}\) 상승과 \(\ell_\perp\) 감소가 동반.

8.6.4.3 (S3) 중심부 완화.

수송 억제 + 전환 포화로 로컬 ODE 지배. 진단: \(G_{\mathrm{sat}}\approx 1\) (전환 용량 포화), \(\chi_S\approx 1\) (수송 초킹), 완화시간이 [eq:part08_core_relax_time_kr]와 일치.

9.2.2.1 레짐 선언(혼합 우세, 얇은 원판, 준정상).

다음을 가정/선언한다:

1. (HYP/SPEC) 코어 바깥 \(R\ge R_0\)에서 VP 이동상은 혼합 우세 레짐(PART 07.3)이며, 등방 닫힘+강완화 환원으로 드리프트-확산형으로 감소된다.

2. (SPEC) 외곽 원판에서는 결손이 이동상에 비례한다고 둔다: \[\Delta(R,0)\approx \Delta_0\,e_{\mathrm{a}}(R,0), \qquad \Delta_0>0\ \text{(\textsf{LOCK})}. \label{eq:part09_kr_Delta_propto_ea}\] 이는 \(\Delta=e_{\mathrm{bg}}^\infty-e_{\mathrm{bg}}\) 및 \(e_{\mathrm{bg}}=1-\rho-e_{\mathrm{a}}\)에서 외곽에서 \(\rho\)가 작다는 조건과 양립한다.

3. (SPEC) 원판 두께가 관심 반경보다 충분히 작아 유효 수송이 \((R,\phi)\)의 2D로 근사된다.

4. (SPEC) 측정 시간창에서 외곽은 준정상: \(\partial_t e_{\mathrm{a}}\approx 0\).

9.2.2.2 외곽 방정식.

PART 07.1의 확산 환원에서(드리프트/반응이 외곽에서 작다고 보고) 다음이 근사 성립: \[\nabla_\perp\cdot\big(D\,\nabla_\perp e_{\mathrm{a}}\big)\approx 0 \quad\text{for } R\ge R_0, \label{eq:part09_kr_outer_harmonic}\] 여기서 \(\nabla_\perp\)는 원판 평면의 2D gradient이고 \(D=\kappa_T/B\)는 유효 확산계수(PART 07.1)이다. \(D\)가 상수이면 \(\nabla_\perp^2 e_{\mathrm{a}}=0\)이다.

9.2.2.3 축대칭 2D 조화해.

원통좌표에서 \(\partial_\phi=0\)이면 \[\nabla_\perp^2 e_{\mathrm{a}}=\frac{1}{R}\partial_R(R\partial_R e_{\mathrm{a}}).\] \(\nabla_\perp^2 e_{\mathrm{a}}=0\)의 해는 \[e_{\mathrm{a}}(R,0)=A\ln\!\left(\frac{R}{R_0}\right)+B, \qquad R\ge R_0, \label{eq:part09_kr_ea_log_solution}\] 이며 상수 \(A,B\)는 경계/처리율 조건으로 결정된다.

9.2.2.4 퍼텐셜 결합과 평탄 속도.

[eq:part09_kr_Phi_def_coupling]과 [eq:part09_kr_Delta_propto_ea]를 적용하면 \[\Phi_{\mathrm{def}}(R,0) \approx -\alpha_\Phi c^2 \Delta_0 e_{\mathrm{a}}(R,0) = -\alpha_\Phi c^2 \Delta_0 \Big[A\ln(R/R_0)+B\Big].\] 따라서 \[\partial_R\Phi_{\mathrm{def}}(R,0) = -\alpha_\Phi c^2 \Delta_0 \frac{A}{R},\] 결손 기여 속도항은 \[v_{\mathrm{def}}^2(R):=R\partial_R\Phi_{\mathrm{def}}(R,0) = -\alpha_\Phi c^2 \Delta_0 A \equiv V_f^2\quad (\text{상수}). \label{eq:part09_kr_flat_speed_from_A}\] \(\alpha_\Phi,\Delta_0\ge 0\)이므로 \(V_f^2>0\)을 위해 \(A<0\)이 필요하며, 이는 외곽에서 \(e_{\mathrm{a}}\) (따라서 \(\Delta\))가 반경에 따라 감소한다는 뜻이다.

9.3.1.1 GR-대응 정책(버전에서 고정).

선도 포스트-뉴턴 차수에서 GR 대응을 강제한다면 \[\Phi=\Psi=\Phi_{\mathrm{eff}} \label{eq:part09_kr_PhiPsi_equals_Phi_eff}\] 를 요구한다. 이를 강제하지 않는다면 \(\Psi-\Phi\) (슬립)를 추가 자유도로 두는 셈이며, 그 경우 §9.5의 관측 게이트로 슬립을 제한해야 한다.

9.3.4.1 아인슈타인 링(축대칭 렌즈).

정렬이 완벽할 때 링 각도 \(\theta_E\)는 \[\theta_E = \frac{D_{LS}}{D_S}\,\alpha(\theta_E) \label{eq:part09_kr_Einstein_condition}\] 을 만족하며, 동치로 투영 질량(유효)을 이용하면 \[\theta_E^2 = \frac{4G}{c^2}\frac{D_{LS}}{D_LD_S}\,M_{\mathrm{proj}}(<\theta_E), \label{eq:part09_kr_thetaE_mass}\] 여기서 \[M_{\mathrm{proj}}(<\theta) := \int_{\|\boldsymbol{\xi}\|\le D_L\theta}\Sigma_{\mathrm{eff}}(\boldsymbol{\xi})\,d^2\xi \label{eq:part09_kr_Mproj_def}\] 이다.

9.3.4.2 결손의 렌즈 기여.

본 틀에서 \(\Sigma_{\mathrm{def}}\)는 결손장으로부터 도출되는 비교용 객체이다: \[\Sigma_{\mathrm{def}}(\boldsymbol{\xi}) = \int \varrho_{\mathrm{def}}(\boldsymbol{\xi},z)\,dz = \frac{1}{4\pi G}\int \nabla^2\Phi_{\mathrm{def}}(\boldsymbol{\xi},z)\,dz = -\frac{\alpha_\Phi c^2}{4\pi G}\int \nabla^2\Delta(\boldsymbol{\xi},z)\,dz,\] ([eq:part09_kr_rho_def_eff], [eq:part09_kr_Phi_def_coupling] 사용). 이는 “새로운 질량종”이 아니라, 동일한 \(\Phi_{\mathrm{def}}\)를 포아송 역으로 환산한 값이다.

9.4.1.1 표준 닫힘: 이류-확산.

\[\mathbf{J}_\Delta = \Delta\,\mathbf{u}_\Delta - D_\Delta \nabla \Delta, \qquad D_\Delta\ge 0, \label{eq:part09_kr_JDelta_advdiff}\] \(\mathbf{u}_\Delta\)는 결손 구조를 운반하는 유효 속도, \(D_\Delta\)는 유효 확산계수이다(기원은 PART 07의 환원과 연결될 수 있으나, 여기서는 최소 비교 모형으로 둔다).

9.4.1.2 완화 시간척도.

운용점 주변에서 순소멸 \(L_\Delta-Q_\Delta\)를 선형화하여 \[L_\Delta - Q_\Delta \approx \frac{1}{\tau_\Delta}\,(\Delta-\Delta_{\mathrm{eq}}), \qquad \tau_\Delta>0 \label{eq:part09_kr_tau_Delta_def}\] 로 정의한다. \(\tau_\Delta\)는 VP 전환율(\(\mu,\Gamma'\)) 및 배경 복원 게이트(PART 08.2, 08.6)에 의해 제어된다.

9.4.2.1 (C1) 완화가 느려야 함(빠른 재부착 금지).

\[\tau_\Delta \gg \tau_{\mathrm{coll}}. \label{eq:part09_kr_condition_slow_relax}\]

9.4.2.2 (C2) 충돌 동안 확산이 작아야 함(피크 스미어 금지).

\[\sqrt{D_\Delta\,\tau_{\mathrm{coll}}}\ll L_{\mathrm{off}}. \label{eq:part09_kr_condition_small_diffusion}\]

9.4.2.3 (C3) 결손 이류가 “가스”가 아니라 “은하”를 추적해야 함.

충돌 없는 은하 성분의 속도를 \(\mathbf{u}_{\mathrm{gal}}\), 충격 가스의 속도를 \(\mathbf{u}_{\mathrm{gas}}\)라 하면 \[\|\mathbf{u}_\Delta-\mathbf{u}_{\mathrm{gal}}\|\ll \|\mathbf{u}_{\mathrm{gal}}-\mathbf{u}_{\mathrm{gas}}\|. \label{eq:part09_kr_condition_advection_tracking}\] 이 조건이 VP에서의 “충돌 없는 거동”의 최소 수학적 표현이다(새 입자가 충돌 없다는 뜻이 아니라, 결손 구조가 충돌 없는 성분과 함께 운반된다는 뜻).

9.5.2.1 슬립(잠재적 확장; 관측으로 게이트).

만약 \(\Psi\ne\Phi\)를 허용한다면 동역학과 렌즈는 서로 다른 조합을 제약한다: \[\text{동역학}\sim \nabla\Phi,\qquad \text{렌즈}\sim \nabla(\Phi+\Psi).\] 따라서 슬립을 임의 함수로 두면 조절 자유도가 늘어난다. 본 문서에서는 슬립을 허용할 경우에도 “회전곡선과 렌즈를 동일한 전역 파라미터로 동시에 맞춘다”를 게이트로 두어야 한다(§9.6).

9.5.3.1 대응 차수(명시).

본 문서의 약장 대응 주장은 다음 차수로 제한된다: \[\text{계량: } \mathcal{O}\!\left(\frac{\Phi}{c^2}\right),\qquad \text{동역학: } \mathcal{O}\!\left(\frac{v^2}{c^2}\right),\qquad \text{렌즈 편향: } \frac{\Phi}{c^2}\ \text{의 선도차수}. \label{eq:part09_kr_matching_order}\] 더 높은 PPN 차수의 주장은 본 문서 범위를 벗어나며, 별도의 확장이 필요하다.

9.6.3.1 약렌즈.

관측 수렴도/전단 데이터(예: \(\kappa_{\mathrm{obs}}(\theta_j)\), 오차 \(\sigma_{\kappa,j}\))가 주어지면 \[\chi^2_{\mathrm{WL}} := \sum_j \frac{\big(\kappa_{\mathrm{pred}}(\theta_j)-\kappa_{\mathrm{obs}}(\theta_j)\big)^2}{\sigma_{\kappa,j}^2}, \qquad \chi^2_{\mathrm{WL,red}}:=\frac{\chi^2_{\mathrm{WL}}}{N_{\mathrm{WL}}-\nu_{\mathrm{WL}}}. \label{eq:part09_kr_chi2_WL}\]

9.6.3.2 강렌즈(아인슈타인 링).

링 각 \(\theta_E\)가 관측되고 오차 \(\sigma_E\)가 주어지면 \[\chi^2_{\mathrm{SL}}:=\frac{\big(\theta_{E,\mathrm{pred}}-\theta_{E,\mathrm{obs}}\big)^2}{\sigma_E^2}, \label{eq:part09_kr_chi2_SL}\] 여기서 \(\theta_{E,\mathrm{pred}}\)는 [eq:part09_kr_thetaE_mass]로 계산한다(거리/거리비는 관측 입력).

9.6.3.3 렌즈 PASS/FAIL.

\[\mathrm{PASS}_{\mathrm{lens}} \Longleftrightarrow \chi^2_{\mathrm{WL,red}}\le \Theta_{\mathrm{WL}} \ \ \wedge\ \ \chi^2_{\mathrm{SL}}\le \Theta_{\mathrm{SL}} \ \ \wedge\ \ \text{선택한 GR-대응 정책(예: }\Phi=\Psi\text{ 주장 시 그 게이트)가 충족}. \label{eq:part09_kr_PASS_lens}\] \(\Theta_{\mathrm{WL}},\Theta_{\mathrm{SL}}\)는 버전 LOCK 임계치이다.

9.6.5.1 아티팩트(artifact) 기록 의무.

모든 PASS/FAIL 평가에서 다음을 아카이브해야 한다:

• 사용한 \(\theta\)의 정확한 값(파라미터 해시 포함),

• 예측장(\(\Phi_{\mathrm{eff}}\), \(v_c\), \(\kappa\) 또는 \(\boldsymbol{\alpha}\)),

• 모든 \(\chi^2\) 및 임계치 대비 여유(margin),

• 중간 게이트 진단(혼합 레짐, 확산 잔차, 속도-상한/trace 제약, GR-대응 정책 충족 여부 등).

이는 사후 서사적 적합(post hoc narrative fitting)을 방지하는 필수 규약이다.

10.1.1.1 초킹 게이트.

초킹 임계치 \(\theta_{\mathrm{choke}}\in(0,1)\)를 LOCK으로 고정하고, 초킹 게이트를 \[G_{\mathrm{choke}}(x,t):=H\!\big(\chi_S(x,t)-\theta_{\mathrm{choke}}\big) \label{eq:part10_kr_gate_choke}\] 로 둔다.

10.1.1.2 초킹 면과 임계반경.

구대칭 기준해(단순화)에서 \[\rho=\rho(r,t),\quad e_{\mathrm{a}}=e_{\mathrm{a}}(r,t),\quad \mathbf{S}=S_r(r,t)\,\hat r\] 이면 초킹 면은 \(G_{\mathrm{choke}}\)가 전환되는 구면이며, 초킹 반경 \(r_{\mathrm{ch}}(t)\)는 \[\chi_S(r_{\mathrm{ch}}(t),t)=\theta_{\mathrm{choke}} \label{eq:part10_kr_rch}\] 로 정의된다. \(r<r_{\mathrm{ch}}\)에서는 플럭스가 허용 상한에 근접한다.

10.1.1.3 완전 초킹 근사(하드 리미터 이상화).

속도 제한(Part 08)이 유효하면 점wise로 \[\|\mathbf{S}(x,t)\|\le c\,e_{\mathrm{a}}(x,t) \label{eq:part10_kr_flux_bound}\] 이므로, 완전 초킹 한계에서는 \[\mathbf{S}(x,t)\approx -c\,e_{\mathrm{a}}(x,t)\,\hat{\mathbf{d}}_{\mathrm{in}}(x,t) \label{eq:part10_kr_choked_flux}\] 로 근사된다. 구대칭 유입에서는 \(\hat{\mathbf{d}}_{\mathrm{in}}=\hat r\)이고 \(S_r\approx -c e_{\mathrm{a}}\)이다.

10.1.1.4 해석.

내부 구동이 내향이면(예: \(\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}\approx -\nabla \Phi_{\mathrm{eff}}\)가 내향), 초킹은 유출/정보 전달을 처리율 상한으로 제한하여 유효 “겉보기 지평” 역할을 한다. 이는 게이트 면의 의미다.

10.1.2.1 \(\Gamma\) 포화 게이트.

\(\Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}})\)를 이동\(\to\)저장 변환율로 두고(PART 08), 용량 \(\Gamma_{\max}(x,t)\) 및 임계치 \(\theta_{\mathrm{sat}}\in(0,1)\)를 LOCK으로 고정한다: \[G_{\mathrm{sat}}(x,t):= H\!\left(\frac{\Gamma(x,t;e_{\mathrm{a}})}{\Gamma_{\max}(x,t)+\eta_0}-\theta_{\mathrm{sat}}\right). \label{eq:part10_kr_gate_sat}\]

10.1.2.2 왜 “분해” 채널이 필요한가.

유입이 초킹([eq:part10_kr_choked_flux])되고 변환이 포화([eq:part10_kr_gate_sat])되면,

• 처리율(플럭스)을 더 키울 수 없고,

• 반응 속도(변환율)도 더 키울 수 없다.

따라서 중심부의 무한 축적을 막으려면, 배우(저장/이동) 총량을 배경-유사 저장소로 이동시키는 채널이 필요하다. 이를 §10.2에서 \[\rho \to e_{\mathrm{pv}}\] 로 구현한다.

10.1.3.1 반응기 영역 지시자.

반경 \(r=\|x\|\)에 대해 반응기 반경 \(r_R>0\)을 두고 \[G_R(x):=H(r_R-r) \qquad \text{(하드 반응기 게이트)}. \label{eq:part10_kr_GR}\] 수치/약해의 필요에 따라 \(H\)를 소프트 게이트로 대체할 수 있으나, 형태와 폭은 LOCK이다.

10.1.3.2 최소 스케일(코스그레인) 정규화.

불연속/델타형 구배에 의한 비물리적 발산을 막기 위해, 판정변수는 최소 길이 \(\ell_{\min}>0\)에서 코스그레인한 값을 사용한다: \[q_{\ell_{\min}}(x,t):=\frac{1}{|B_{\ell_{\min}}|}\int_{B_{\ell_{\min}}(x)} q(y,t)\,dy, \qquad |B_{\ell_{\min}}|=\frac{4\pi}{3}\ell_{\min}^3. \label{eq:part10_kr_coarse_grain}\] 이후 결손 구배 \(\nabla\Delta\) 등은 \(\Delta_{\ell_{\min}}\)로 평가할 수 있다(SPEC이지만 강권장; LOCK).

10.1.4.1 명제 10.1(최소 스케일 하에서 결손 가속의 유계성).

다음을 가정한다:

1. \(0\le \Delta(x,t)\le \Delta_{\max}\le 1\) (정규화에서 자동적으로 기대됨),

2. \(\Delta\)는 [eq:part10_kr_coarse_grain]로 정의된 \(\Delta_{\ell_{\min}}\)로 평가되며, 이때 \[\|\nabla \Delta_{\ell_{\min}}(x,t)\|\le \frac{\Delta_{\max}}{\ell_{\min}}\] 의 Lipschitz형 상계가 성립한다고 둔다(코스그레인 평균의 기본 스케일 추정),

3. 결손 퍼텐셜 결합은 [eq:part10_kr_Phi_def]이다.

그러면 결손 가속은 전역적으로 유계다: \[\|\mathbf{g}_{\mathrm{def}}(x,t)\| = \alpha_\Phi c^2 \|\nabla\Delta_{\ell_{\min}}(x,t)\| \le \alpha_\Phi c^2\,\frac{\Delta_{\max}}{\ell_{\min}}. \label{eq:part10_kr_gdef_bound}\]

10.1.4.2 증명.

[eq:part10_kr_Phi_def]에서 \(\mathbf{g}_{\mathrm{def}}=\alpha_\Phi c^2\nabla\Delta_{\ell_{\min}}\)이므로, 가정한 상계를 곱하면 즉시 [eq:part10_kr_gdef_bound]를 얻는다. \(\square\)

10.1.4.3 추가 유계성: 속도-상한에 의한 평균 속도 유한.

[eq:part10_kr_flux_bound]로부터 이동상 평균 수송 속도 \(\mathbf{u}:=\mathbf{S}/(e_{\mathrm{a}}+\eta_0)\)는 \[\|\mathbf{u}\| = \frac{\|\mathbf{S}\|}{e_{\mathrm{a}}+\eta_0} \le \frac{c e_{\mathrm{a}}}{e_{\mathrm{a}}+\eta_0} \le c\] 를 만족(상수는 \(\eta_0\)에 의해 완화)하므로 “무한 유입 속도” 발산도 배제된다.

10.1.5.1 반응기-수정 상전이 방정식(정상, 방사).

반응기 내부에서 정상 상전이 방정식을 \[\begin{aligned} 0 &= -\mu(r)\rho(r) + \Gamma(e_{\mathrm{a}}(r)) - \Lambda_{\mathrm{pv}}(r)\rho(r), \label{eq:part10_kr_steady_rho}\\ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\big(r^2 S_r(r)\big) &= \mu(r)\rho(r)-\Gamma(e_{\mathrm{a}}(r)) + \mu_{\mathrm{pv}}(r)\,e_{\mathrm{pv}}(r)-\Lambda_{\mathrm{a}}(r)e_{\mathrm{a}}(r) \label{eq:part10_kr_steady_ea_div}\end{aligned}\] 로 둔다(여기서 \(\mu_{\mathrm{pv}},\Lambda_{\mathrm{a}}\)는 선택적 채널; 최소 모형에서는 0으로 둘 수 있다).

10.1.5.2 최소 모형에서 \(\rho\) 제거.

가장 단순하게 \(\mu_{\mathrm{pv}}=\Lambda_{\mathrm{a}}=0\)을 택하면 [eq:part10_kr_steady_rho]로부터 \[\rho(r)=\frac{\Gamma(e_{\mathrm{a}}(r))}{\mu(r)+\Lambda_{\mathrm{pv}}(r)}. \label{eq:part10_kr_rho_from_ea}\] 이를 [eq:part10_kr_steady_ea_div]에 대입하면 \[\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\big(r^2 S_r(r)\big) = \mu(r)\frac{\Gamma(e_{\mathrm{a}}(r))}{\mu(r)+\Lambda_{\mathrm{pv}}(r)}-\Gamma(e_{\mathrm{a}}(r)) = -\Gamma(e_{\mathrm{a}}(r))\,\frac{\Lambda_{\mathrm{pv}}(r)}{\mu(r)+\Lambda_{\mathrm{pv}}(r)}\le 0. \label{eq:part10_kr_divS_sign}\] 완전 초킹 근사 \(S_r\approx -c e_{\mathrm{a}}\)를 쓰면 \[-\frac{c}{r^2}\frac{d}{dr}\big(r^2 e_{\mathrm{a}}(r)\big) = -\Gamma(e_{\mathrm{a}}(r))\,\frac{\Lambda_{\mathrm{pv}}(r)}{\mu(r)+\Lambda_{\mathrm{pv}}(r)},\] 즉 \[\frac{c}{r^2}\frac{d}{dr}\big(r^2 e_{\mathrm{a}}(r)\big) = \Gamma(e_{\mathrm{a}}(r))\,\frac{\Lambda_{\mathrm{pv}}(r)}{\mu(r)+\Lambda_{\mathrm{pv}}(r)}\ge 0. \label{eq:part10_kr_ea_ode_choked}\] 따라서 \(r^2 e_{\mathrm{a}}(r)\)는 바깥으로 갈수록 비감소한다. 중심 정칙성은 \(r\to 0\)에서 구면을 통한 플럭스가 0이어야 하므로(\(4\pi r^2 S_r\to 0\)) \(r^2 e_{\mathrm{a}}(r)\to 0\)을 요구하며, 이는 \(e_{\mathrm{a}}(r)\)가 유한하게 유지되는 해와 양립한다. 여기서 핵심은 \(\Lambda_{\mathrm{pv}}>0\)이 부호 구조([eq:part10_kr_divS_sign])를 강제하여 병리적 중앙 성장(발산)을 억제한다는 점이다.

10.2.2.1 정상 배경의 정의(대수적).

[eq:part10_kr_normalization]에 의해 \[e_{\mathrm{bg}}^{\mathrm{reg}}(x,t)=1-\rho(x,t)-e_{\mathrm{a}}(x,t)-e_{\mathrm{pv}}(x,t), \qquad e_{\mathrm{bg}}(x,t)=1-\rho(x,t)-e_{\mathrm{a}}(x,t). \label{eq:part10_kr_bg_reg_def}\]

10.2.2.2 양의성/허용성 제약(게이트).

물리적/수학적 허용성을 위해 다음을 게이트로 강제한다: \[0\le \rho,\ e_{\mathrm{a}},\ e_{\mathrm{pv}},\ e_{\mathrm{bg}}^{\mathrm{reg}} \le 1, \qquad \rho+e_{\mathrm{a}}+e_{\mathrm{pv}}\le 1, \label{eq:part10_kr_positivity}\] \[\mu,\ \Lambda_{\mathrm{pv}},\ \Lambda_{\mathrm{a}},\ \mu_{\mathrm{pv}}\ge 0, \qquad \Gamma(\cdot)\ge 0,\quad \Gamma(0)=0,\quad \Gamma\le \Gamma_{\max}, \label{eq:part10_kr_rate_admissibility}\] 또한 닫힘 \(\mathbf{T}\)는 속도 제한 실현가능 조건(예: \(\mathrm{tr}(\mathbf{T})\le c^2 e_{\mathrm{a}}\))을 위반하면 FAIL이다.

10.2.3.1 분해 게이트 정의.

임계치들을 LOCK으로 고정한다: \[\Delta_c\in(0,1),\qquad \theta_{\mathrm{choke}}\in(0,1),\qquad \theta_{\mathrm{sat}}\in(0,1),\] 반응기 반경 \(r_R\)는 LOCK된 SPEC. 분해 게이트를 \[G_{\mathrm{dec}}(x,t) := G_R(x)\; H\!\big(\Delta(x,t)-\Delta_c\big)\; G_{\mathrm{choke}}(x,t)\; G_{\mathrm{sat}}(x,t) \label{eq:part10_kr_Gdec}\] 로 둔다. 여기서 \(G_R\)는 [eq:part10_kr_GR], \(G_{\mathrm{choke}}\)는 [eq:part10_kr_gate_choke], \(G_{\mathrm{sat}}\)는 [eq:part10_kr_gate_sat]이다.

10.2.3.2 분해율(최소 형태).

\[\Lambda_{\mathrm{pv}}(x,t) := \Lambda_0\,G_{\mathrm{dec}}(x,t), \qquad \Lambda_0>0\ \text{(\textsf{LOCK})}. \label{eq:part10_kr_Lambda_pv_def}\] 소프트 게이트로 평활화할 수 있으나, 함수형과 폭은 버전 LOCK이다.

10.2.3.3 해석.

분해는 임의로 켜는 “노브”가 아니라, \[\text{(반응기 내부)}\ \wedge\ \text{(큰 결손)}\ \wedge\ \text{(초킹)}\ \wedge\ \text{(변환 포화)}\] 가 동시에 성립할 때만 켜진다. 이것이 반응기 모델을 반증 가능하게 만든다.

10.2.4.1 \(\mu\) 활성화 게이트.

\[G_\mu(x,t) := G_R(x)\; H\!\big(\Delta(x,t)-\Delta_\mu\big), \qquad \Delta_\mu\in(0,1). \label{eq:part10_kr_Gmu}\] 그 후 \[\mu(x,t):=\mu_{\mathrm{out}} + (\mu_{\mathrm{in}}-\mu_{\mathrm{out}})\,G_\mu(x,t), \qquad 0\le \mu_{\mathrm{out}}\le \mu_{\mathrm{in}}, \label{eq:part10_kr_mu_profile}\] 로 둔다. \((\mu_{\mathrm{out}},\mu_{\mathrm{in}},\Delta_\mu)\)는 LOCK이다.

10.2.4.2 해석.

외부에서 \(\mu\)가 작고 내부에서 크면, 저장상은 코어에서 주로 이동상으로 전환되어 “축적 문제”가 “처리율 제한된 수송 문제”로 환원된다. 이는 초킹/제트 물리와 자연스럽게 결합된다.

10.2.5.1 제트 게이트 재사용.

축 단위벡터 \(k(x,t)\)를 두고(PART 07/08), 정렬/누설 진단으로 제트 게이트를(하드 형태) \[G_{\mathrm{jet}} = H\!\big(A-(1-\varepsilon_A^{\mathrm{jet}})\big)\; H\!\big(\varepsilon_k^{\mathrm{jet}}-a_k\big)\; H\!\big(\varepsilon_\perp^{\mathrm{jet}}-\ell_\perp\big) \label{eq:part10_kr_Gjet}\] 로 둔다. 여기서 \(A,a_k,\ell_\perp\)는 정렬/누설 지표이고, \(\varepsilon_*^{\mathrm{jet}}\)는 LOCK 임계치다.

10.2.5.2 재활성(재주입) 속도.

최소 모델: \[\mu_{\mathrm{pv}}(x,t) := \mu_{\mathrm{pv},0}\,G_R(x)\,G_{\mathrm{jet}}(x,t), \qquad \mu_{\mathrm{pv},0}\ge 0\ \text{(\textsf{LOCK})}. \label{eq:part10_kr_mu_pv_def}\] 즉 PV\(\to\)이동 전환은 반응기 내부에서, 그리고 제트 조건이 켜질 때만 작동한다(전역 자유도 방지).

10.3.1.1 국소 점유 보존(LOCK).

[eq:part10_kr_normalization]에 의해 \[\rho+e_{\mathrm{a}}+e_{\mathrm{bg}}^{\mathrm{reg}}+e_{\mathrm{pv}}\equiv 1\] 는 항등이며, 반응기 내부에서도 점유(부피 분율)의 총합은 보존된다.

10.3.1.2 배우(actor) 총량과 그 수지.

배우 총량을 \[e_{\mathrm{act}}(x,t):=\rho(x,t)+e_{\mathrm{a}}(x,t) \label{eq:part10_kr_eact}\] 로 정의한다. [eq:part10_kr_rho_PDE]와 [eq:part10_kr_ea_PDE]를 더하면 \[\partial_t e_{\mathrm{act}} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\Lambda_{\mathrm{pv}}\,\rho -\Lambda_{\mathrm{a}}\,e_{\mathrm{a}} +\mu_{\mathrm{pv}}\,e_{\mathrm{pv}}. \label{eq:part10_kr_actor_balance}\] 즉 분해/소산은 배우 총량을 감소시키고, PV 재활성은 배우 총량을 증가시킨다.

10.3.1.3 원시부피 수지.

[eq:part10_kr_epv_PDE]는 \[\partial_t e_{\mathrm{pv}} = +\Lambda_{\mathrm{pv}}\,\rho +\Lambda_{\mathrm{a}}\,e_{\mathrm{a}} -\mu_{\mathrm{pv}}\,e_{\mathrm{pv}} \label{eq:part10_kr_pv_balance}\] 이다.

10.3.1.4 반응기 “전하”의 보존.

[eq:part10_kr_actor_balance]와 [eq:part10_kr_pv_balance]를 더하면 \[\partial_t(\rho+e_{\mathrm{a}}+e_{\mathrm{pv}})+\nabla\cdot\mathbf{S}=0. \label{eq:part10_kr_reactor_charge_conservation}\] 따라서 \[q_R(x,t):=\rho(x,t)+e_{\mathrm{a}}(x,t)+e_{\mathrm{pv}}(x,t) \label{eq:part10_kr_qR}\] 를 반응기 전하라 부르면, 이는 내부 전환(분해/재활성)에 무관하게 플럭스 \(\mathbf{S}\)에 의해 수송될 뿐, 내부에서 생성/소멸되지 않는다.

10.3.1.5 제어체적 적분형(장부 공리의 반응기 버전).

고정 제어체적 \(\Omega\)와 경계 \(\partial\Omega\)의 외법선 \(\mathbf{n}\)에 대해 [eq:part10_kr_reactor_charge_conservation]를 적분하면 \[\frac{d}{dt}\int_{\Omega} q_R\,dV + \int_{\partial\Omega}\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dA =0. \label{eq:part10_kr_integral_qR}\] 즉 반응기 전하의 변화는 경계 처리율로만 결정되며, 내부 반응은 \(q_R\)의 분배만 바꾼다.

10.3.2.1 기준 에너지 스케일(SPEC이나 LOCK).

물리 에너지밀도 기준 \(u_*>0\) (단위 \(ML^{-1}T^{-2}\))를 두고, 상별 무차원 “특정 에너지”를 \[\epsilon_\rho,\ \epsilon_{\mathrm{a}},\ \epsilon_{\mathrm{pv}}\ \ge 0\] 로 둔다(LOCK). VP 상들의 무차원 내부에너지 밀도를 \[\varepsilon_{\mathrm{VP}}(x,t) := \epsilon_\rho\,\rho + \epsilon_{\mathrm{a}}\,e_{\mathrm{a}} + \epsilon_{\mathrm{pv}}\,e_{\mathrm{pv}} \label{eq:part10_kr_eps_VP}\] 로 정의하고, 물리 에너지밀도는 \(u_{\mathrm{VP}}:=u_*\varepsilon_{\mathrm{VP}}\)이다.

10.3.2.2 이동 채널이 운반하는 에너지 플럭스.

이동상만이 \(\mathbf{S}\)로 수송되므로, 최소 일관 선택으로 \[\mathbf{J}_{\mathrm{VP}} := u_*\,\epsilon_{\mathrm{a}}\,\mathbf{S} \label{eq:part10_kr_J_VP}\] 를 정의한다(상수 \(\epsilon_{\mathrm{a}}\)는 이동상 1단위 분율이 운반하는 에너지 비중을 의미).

10.3.2.3 복사 저장소.

복사 에너지밀도를 \(u_\gamma:=u_*\varepsilon_\gamma\)로 두고, 무차원 복사 플럭스 \(\mathbf{j}_\gamma\) 및 주입률(전력밀도) \(\mathcal{P}_\gamma\)로 \[\partial_t \varepsilon_\gamma + \nabla\cdot\mathbf{j}_\gamma = \mathcal{P}_\gamma, \qquad \mathbf{J}_\gamma:=u_*\,\mathbf{j}_\gamma \label{eq:part10_kr_radiation_ledger}\] 를 둔다.

10.3.2.4 전환으로 인한 에너지 교환(완결식).

[eq:part10_kr_rho_PDE]에 \(\epsilon_\rho\)를, [eq:part10_kr_ea_PDE]에 \(\epsilon_{\mathrm{a}}\)를, [eq:part10_kr_epv_PDE]에 \(\epsilon_{\mathrm{pv}}\)를 곱해 더하고, \(e_{\mathrm{a}}\) 방정식의 \(\nabla\cdot\mathbf{S}\)를 이용하면: \[\partial_t \varepsilon_{\mathrm{VP}} + \nabla\cdot(\epsilon_{\mathrm{a}}\mathbf{S}) = (\epsilon_{\mathrm{a}}-\epsilon_\rho)\,\mu\rho +(\epsilon_\rho-\epsilon_{\mathrm{a}})\,\Gamma +(\epsilon_{\mathrm{pv}}-\epsilon_\rho)\,\Lambda_{\mathrm{pv}}\rho +(\epsilon_{\mathrm{pv}}-\epsilon_{\mathrm{a}})\,\Lambda_{\mathrm{a}}e_{\mathrm{a}} +(\epsilon_{\mathrm{a}}-\epsilon_{\mathrm{pv}})\,\mu_{\mathrm{pv}}e_{\mathrm{pv}}. \label{eq:part10_kr_energy_exchange_VP}\] 우변은 VP 내부 전환이 만들어내는 에너지 잉여/부족(즉, \(\epsilon_{\mathrm{a}}\mathbf{S}\)로 수송되지 않는 부분)을 나타낸다.

10.3.2.5 복사 주입률의 정의(총에너지 보존을 강제).

총에너지 보존을 LOCK으로 강제하기 위해 [eq:part10_kr_radiation_ledger]의 \(\mathcal{P}_\gamma\)를 \[\mathcal{P}_\gamma := -\Big[ (\epsilon_{\mathrm{a}}-\epsilon_\rho)\,\mu\rho +(\epsilon_\rho-\epsilon_{\mathrm{a}})\,\Gamma +(\epsilon_{\mathrm{pv}}-\epsilon_\rho)\,\Lambda_{\mathrm{pv}}\rho +(\epsilon_{\mathrm{pv}}-\epsilon_{\mathrm{a}})\,\Lambda_{\mathrm{a}}e_{\mathrm{a}} +(\epsilon_{\mathrm{a}}-\epsilon_{\mathrm{pv}})\,\mu_{\mathrm{pv}}e_{\mathrm{pv}} \Big] \label{eq:part10_kr_Pgamma_def}\] 로 정의한다.

10.3.2.6 총에너지 보존(국소).

\[\varepsilon_{\mathrm{tot}}:=\varepsilon_{\mathrm{VP}}+\varepsilon_\gamma, \qquad \mathbf{j}_{\mathrm{tot}}:=\epsilon_{\mathrm{a}}\mathbf{S}+\mathbf{j}_\gamma \label{eq:part10_kr_total_energy_def}\] 로 두면 [eq:part10_kr_energy_exchange_VP]와 [eq:part10_kr_radiation_ledger], [eq:part10_kr_Pgamma_def]로부터 \[\partial_t \varepsilon_{\mathrm{tot}} + \nabla\cdot \mathbf{j}_{\mathrm{tot}} = 0 \label{eq:part10_kr_total_energy_conservation}\] 가 성립한다. 물리 단위로는 \[\partial_t u_{\mathrm{tot}}+\nabla\cdot \mathbf{J}_{\mathrm{tot}}=0, \qquad u_{\mathrm{tot}}:=u_*\varepsilon_{\mathrm{tot}}, \quad \mathbf{J}_{\mathrm{tot}}:=u_*\mathbf{j}_{\mathrm{tot}}.\]

10.4.1.1 (J1) 강정렬 + 횡누설 억제.

제트 게이트가 ON: \[G_{\mathrm{jet}}=1. \label{eq:part10_kr_J1}\]

10.4.1.2 (J2) 구동 가능한 에너지/전력원 존재.

코어에서 다음 중 적어도 하나가 유의미해야 한다: \[\mu\rho,\qquad \Lambda_{\mathrm{pv}}\rho,\qquad \mu_{\mathrm{pv}}e_{\mathrm{pv}}.\] 장부 관점에서는 관측 표면에서 총 출력이 양수: \[L_{\mathrm{rad}}(t)+P_{\mathrm{VP}}(t)>0. \label{eq:part10_kr_J2}\]

10.4.1.3 (J3) 축방향 개방 채널(이방성 드래그/투과성).

플럭스 방정식의 드래그 텐서 \(\mathbf{B}\)에 대해 축/횡 성분을 \[B_\parallel := k\cdot \mathbf{B}k, \qquad \mathbf{B}_\perp := (\mathbf{I}-k\otimes k)\mathbf{B}(\mathbf{I}-k\otimes k)\] 로 두고, 발사 영역에서 최소 조건을 \[B_\parallel \ll \|\mathbf{B}_\perp\| \label{eq:part10_kr_open_channel}\] 로 둔다. 이는 SPEC이지만 제트 발현을 위한 구조적 요구이며 LOCK으로 고정되어야 한다.

10.4.1.4 (J4) 처리율 상한과의 일관성(축방향 초킹 포함).

속도-상한은 축방향 성분에도 동일하게 적용된다: \[|\mathbf{S}\cdot k|\le \|\mathbf{S}\|\le c e_{\mathrm{a}}. \label{eq:part10_kr_jet_capacity_pointwise}\]

10.5.2.1 에너지(파워) 상한.

[eq:part10_kr_Pvp]로부터 VP-운반 파워는 \[|P_{\mathrm{VP}}(t)| = u_*\,\epsilon_{\mathrm{a}}\left|\int_\Sigma \mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dA\right| \le u_*\,\epsilon_{\mathrm{a}}\,c\,\mathrm{Area}(\Sigma) \label{eq:part10_kr_Pvp_cap}\] 로 상계된다. 이는 “Eddington 한계”와는 다른, 순수 처리율 기반 발현 상한이다(관측적으로 타당한지 여부는 게이트로 검증해야 한다).

10.5.3.1 “재활용 센터” 해석.

정상 상태에서 반응기는 \(\Lambda_{\mathrm{pv}}\rho\)로 PV를 생성하고, \(\mu_{\mathrm{pv}}e_{\mathrm{pv}}\)로 PV를 이동상으로 재주입(특히 제트 조건에서)하여 출력 채널을 형성한다. 전환에서 생기는 에너지 잉여/부족은 [eq:part10_kr_Pgamma_def]로 복사로 이전되어 광도를 만든다.

10.6.2.1 명제 10.2(확산의 엔트로피 단조성).

함수 \[F(t):=\int_\Omega e_{\mathrm{a}}\ln e_{\mathrm{a}}\,dV \label{eq:part10_kr_F_def}\] 를 정의하면 \[\frac{dF}{dt} = -\int_{\Omega} D\,\frac{\|\nabla e_{\mathrm{a}}\|^2}{e_{\mathrm{a}}}\,dV \le 0. \label{eq:part10_kr_diffusion_entropy_ineq}\] 즉 \(\int_\Omega (-e_{\mathrm{a}}\ln e_{\mathrm{a}})\,dV\)는 비감소한다.

10.6.2.2 증명.

미분하면 \[\frac{d}{dt}\int e_{\mathrm{a}}\ln e_{\mathrm{a}}\,dV = \int (1+\ln e_{\mathrm{a}})\,\partial_t e_{\mathrm{a}}\,dV = \int (1+\ln e_{\mathrm{a}})\,\nabla\cdot(D\nabla e_{\mathrm{a}})\,dV.\] 부분적분과 무플럭스 조건으로 경계항이 0이므로 \[= -\int D\nabla(1+\ln e_{\mathrm{a}})\cdot\nabla e_{\mathrm{a}}\,dV = -\int D\,\frac{\|\nabla e_{\mathrm{a}}\|^2}{e_{\mathrm{a}}}\,dV \le 0.\] \(\square\)

10.6.2.3 해석.

확산/혼합은 구배를 소산시켜 자연 엔트로피 함수의 단조성을 만든다. 이는 수치 구현에서 강력한 GATE(잔차/오차 검증)로 사용할 수 있다.

10.6.3.1 게이팅된 예고(Part 17에서 완성).

반응률들이 상세평형(detailed balance) 혹은 그에 준하는 조건을 만족하는 경우(Part 17에서 명시/게이트), \(I(t)\)는 Lyapunov 함수로서 \[\frac{dI}{dt}\le 0 \label{eq:part10_kr_I_decay_claim}\] 를 만족한다. 본 PART에서는 조건을 확정하지 않고, 정보 장부의 정의를 먼저 고정하여 Part 17에서 엄밀한 충분조건과 증명을 제시할 수 있게 한다.

10.6.4.1 Part 17 연결.

Part 17에서는 다음을 엄밀히 완성한다:

1. 분포함수 수준(Vlasov/볼츠만 유사)에서의 정보/엔트로피 장부 정의,

2. LOCK/DERIVE 레짐에서의 단조성 정리(H-정리 유사),

3. 반응기(PV 저장소 및 게이트) 도입이 엔트로피/정보 장부에 주는 수정 항과 관측적 함의.

본 PART는 이를 위한 최소 변수, 보존 구조, 그리고 핵심 게이트를 제공한다.

11.1.1.1 (A) 전역 스핀(각운동량) 기반.

중심 천체/코어 제어체적의 각운동량 벡터 \(\mathbf{L}(t)\neq 0\)가 주어지면(관측 또는 모델), \[\hat{\mathbf{s}}(t):=\frac{\mathbf{L}(t)}{\|\mathbf{L}(t)\|} \label{eq:part11_kr_spin_global}\] 를 전역 스핀 방향으로 둔다.

11.1.1.2 (B) 국소 스핀(와도) 기반.

평균 수송 속도 \(\mathbf{u}\)를 [eq:part11_kr_speedlimit]로 정의하고, 와도를 \[\boldsymbol{\omega}(x,t):=\nabla\times \mathbf{u}(x,t), \qquad \hat{\mathbf{s}}(x,t):=\frac{\boldsymbol{\omega}(x,t)}{\|\boldsymbol{\omega}(x,t)\|+\eta_0} \label{eq:part11_kr_spin_local}\] 로 둔다. \(\eta_0\)는 \(\|\boldsymbol{\omega}\|\approx 0\)에서의 분모 안정화다.

11.1.1.3 스핀 게이트(LOCK).

스핀-유도 제트 메커니즘을 쓰려면 “충분한 회전”이 필요하다. 임계치 \(\omega_{\min}>0\) 또는 \(L_{\min}>0\)를 LOCK하고 \[G_{\mathrm{spin}}(x,t):=H\!\big(\|\boldsymbol{\omega}(x,t)\|-\omega_{\min}\big), \qquad \text{또는}\qquad G_{\mathrm{spin}}(t):=H\!\big(\|\mathbf{L}(t)\|-L_{\min}\big) \label{eq:part11_kr_Gspin}\] 로 정의한다. \(G_{\mathrm{spin}}=0\)이면 본 PART의 “스핀-유도 기하 구속”에 의해 지속적·좁은 제트가 강제되지 않는다(§11.6).

11.1.2.1 분포함수와 이동상.

이동상 속도 분포 \(f(x,v,t)\ge 0\)를 두고(PART 04), \[e_{\mathrm{a}}(x,t)=\int_{\mathbb{R}^3} f(x,v,t)\,dv. \label{eq:part11_kr_ea_from_f}\]

11.1.2.2 축대칭 커널 가정(LOCK).

정렬/혼합 커널 \(b(x,v,t)\)에 대해 \[b(x,v,t)=\tilde b\!\big(x,\,v\cdot k(x,t),\,t\big) \label{eq:part11_kr_axisymmetric_b}\] 를 가정한다. 즉 \(b\)는 \(k\)에 대한 축회전에서 불변이다.

11.1.2.3 정렬 모멘트.

정렬 1차 모멘트(벡터)를 \[\mathbf{m}_b(x,t):=\int_{\mathbb{R}^3} v\, b(x,v,t)\, f(x,v,t)\,dv \label{eq:part11_kr_mb_def}\] 로 정의한다.

11.1.2.4 레마 11.1(축대칭이면 \(\mathbf{m}_b\parallel k\)).

다음을 가정하자:

1. \(k(x,t)\)는 단위벡터,

2. \(b\)는 [eq:part11_kr_axisymmetric_b]의 축대칭,

3. \(f\)도 \(k\)에 대한 축대칭: \(Rk=k\)인 임의의 회전 \(R\)에 대해 \(f(x,Rv,t)=f(x,v,t)\).

그러면 \[\mathbf{m}_b(x,t)=m_b(x,t)\,k(x,t) \quad\text{(어떤 스칼라 }m_b\text{ 존재)}. \label{eq:part11_kr_mb_parallel}\]

11.1.2.5 증명.

\((x,t)\)를 고정하고 좌표계를 \(k=\hat z\)가 되도록 잡는다. 속도 좌표를 원통형으로 \[v=(v_\perp\cos\phi,\,v_\perp\sin\phi,\,v_\parallel), \qquad v_\parallel=v\cdot k,\quad v_\perp=\|v-(v\cdot k)k\|\] 로 두면, 축대칭 가정으로 \(f=f(v_\perp,v_\parallel)\), \(b=\tilde b(v_\parallel)\)는 \(\phi\)에 무관하다. 이제 \[\mathbf{m}_b=\int v\,\tilde b(v_\parallel)\,f(v_\perp,v_\parallel)\,dv.\] \(x\)-성분은 \(\int v_\perp\cos\phi\,\tilde b\,f\,dv\), \(y\)-성분은 \(\int v_\perp\sin\phi\,\tilde b\,f\,dv\)에 비례하므로, \[\int_0^{2\pi}\cos\phi\,d\phi=0,\qquad \int_0^{2\pi}\sin\phi\,d\phi=0\] 에 의해 횡성분은 0이다. 따라서 \(\mathbf{m}_b\)는 \(z\)방향 성분만 남아 \(k=\hat z\)와 평행이다. 일반 좌표로 돌아가면 [eq:part11_kr_mb_parallel]. \(\square\)

11.1.2.6 해석.

축대칭 커널 레짐에서는 구별되는 방향이 \(k\)뿐이므로, 홀수(벡터) 모멘트는 \(k\)로 정렬된다. 이것이 “제트는 축방향이어야 한다”의 최소 수학적 핵심이다.

11.1.3.1 미정렬 에너지(스핀-정렬 에너지).

\[\mathcal{E}_{\mathrm{spin}}(k,\hat{\mathbf{s}}) := \frac{\kappa_s}{2}\,\|k\times \hat{\mathbf{s}}\|^2 = \frac{\kappa_s}{2}\,\big(1-(k\cdot \hat{\mathbf{s}})^2\big), \qquad \kappa_s\ge 0\ \text{(\textsf{LOCK})}. \label{eq:part11_kr_Espin}\] 최소점은 \(k=\pm \hat{\mathbf{s}}\)이다.

11.1.3.2 구면(단위구) 위의 투영 완화식.

\(k\)가 \(\|k\|=1\)을 유지하도록, \(P_\perp(k):=I-k\otimes k\)로 투영한다. 대류+완화를 포함하는 최소식: \[\partial_t k + (\mathbf{u}\cdot\nabla)k = -\frac{1}{\tau_k}\,P_\perp(k)\,\nabla_k \mathcal{E}_{\mathrm{spin}}(k,\hat{\mathbf{s}}) = -\frac{\kappa_s}{\tau_k}\,k\times\big(k\times\hat{\mathbf{s}}\big), \qquad \tau_k>0\ \text{(\textsf{LOCK})}. \label{eq:part11_kr_k_evolution}\]

11.1.3.3 단위길이 불변성.

[eq:part11_kr_k_evolution]을 \(k\)와 내적하면 \[k\cdot(\partial_t k+(\mathbf{u}\cdot\nabla)k)= -\frac{\kappa_s}{\tau_k}\,k\cdot\big(k\times(k\times\hat{\mathbf{s}})\big)=0\] 이므로 \(\|k\|^2\)는 흐름을 따라 불변이다. 초기 \(\|k\|=1\)이면 항상 유지된다.

11.1.3.4 미정렬 각의 감쇠.

\(\cos\theta:=k\cdot\hat{\mathbf{s}}\)로 두고 \(D_t:=\partial_t+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\)를 쓰면, \[D_t(\cos\theta)=\frac{\kappa_s}{\tau_k}\sin^2\theta, \qquad D_t\theta=-\frac{\kappa_s}{\tau_k}\sin\theta\cos\theta. \label{eq:part11_kr_theta_dynamics}\] \(0<\theta<\pi/2\)에서는 \(D_t\theta<0\)이므로 정렬이 강화된다.

11.1.3.5 가장 단순한 해(대류 무시, \(\hat{\mathbf{s}}\) 상수).

\(D_t=\partial_t\)이고 \(\hat{\mathbf{s}}\)가 상수이면, \[\tan\theta(t)=\tan\theta(0)\,\exp\!\left(-\frac{\kappa_s}{\tau_k}t\right), \label{eq:part11_kr_theta_solution}\] 즉 락킹 시간척도는 \(\tau_k/\kappa_s\)이다.

11.1.4.1 정렬 결함 \(a_k\)(2차 모멘트 기반).

축 \(k\)에 대해 종/횡 2차 모멘트를 \[M_\parallel(x,t):=\int (v\cdot k)^2\,f(x,v,t)\,dv, \qquad M_\perp(x,t):=\int \|v-(v\cdot k)k\|^2\,f(x,v,t)\,dv \label{eq:part11_kr_Mpar_Mperp}\] 로 정의하고, 정렬 결함을 \[a_k(x,t):=\frac{M_\perp(x,t)}{M_\parallel(x,t)+M_\perp(x,t)}\in[0,1] \label{eq:part11_kr_ak_def}\] 로 둔다. \(a_k\to 0\)이면 강정렬, \(a_k\to 1\)이면 횡방향 분산이 우세하여 제트에 불리하다.

11.1.4.2 정렬 품질 게이트.

LOCK 임계치 \(a_{\max}\in(0,1)\)로 \[G_{\mathrm{align}}(x,t):=H(a_{\max}-a_k(x,t)). \label{eq:part11_kr_Galign}\]

11.1.4.3 스핀-락킹 게이트.

LOCK 허용 미정렬 \(\theta_{\max}^{(k)}\in(0,\pi/2)\)로 \[G_{k\parallel s}(x,t):= H\!\big(\cos\theta(x,t)-\cos\theta_{\max}^{(k)}\big), \qquad \cos\theta=k\cdot\hat{\mathbf{s}}. \label{eq:part11_kr_Gkpar}\]

11.1.4.4 합성 축 게이트.

\[G_{\mathrm{axis}}(x,t):=G_{\mathrm{spin}}(x,t)\,G_{k\parallel s}(x,t)\,G_{\mathrm{align}}(x,t). \label{eq:part11_kr_Gaxis}\] \(G_{\mathrm{axis}}=1\)이면 축이 안정적으로 존재하고, 레마 11.1에 의해 축방향 모멘트들이 \(k\)로 강제 정렬될 구조적 조건이 충족된다.

11.2.3.1 측면 무누설(튜브 정의).

튜브 측면은 수송 전하의 “재료면(material surface)”으로 정의한다: \[\big(\mathbf{S}-q\mathbf{w}\big)\cdot\mathbf{n}=0 \quad\text{on }\Sigma_{\mathrm{side}}(t). \label{eq:part11_kr_no_leak}\] 정상·고정 튜브(\(\mathbf{w}=0\))에서는 \(\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}=0\)로 단순화된다.

11.2.4.1 정상·고정 튜브에서의 불변량.

정상이고 튜브가 고정이면 \(\mathbf{w}=0\), 그리고 \(\frac{d}{dt}\int_{\Omega_T}q\,dV=0\)이므로 \[\int_{\Sigma_+}\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dA + \int_{\Sigma_-}\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\,dA =0. \label{eq:part11_kr_inout_balance}\] 단면이 축에 수직이라면 출구에서 \(\mathbf{n}\approx +k\), 입구에서 \(\mathbf{n}\approx -k\)이다. 따라서 축방향 처리율을 \[\mathcal{J}(z):=\int_{\Sigma(z)} \mathbf{S}\cdot k\,dA \label{eq:part11_kr_J_def}\] 로 정의하면, \[\mathcal{J}(z_2)=\mathcal{J}(z_1) \quad\text{(동일 제트튜브 내의 임의 두 단면 }z_1,z_2\text{)}. \label{eq:part11_kr_J_invariant}\] 즉 축방향 플럭스 불변량이 성립한다.

11.2.4.2 비정상/누설 튜브에서의 진단식.

[eq:part11_kr_tube_balance_full]을 구간 튜브에 적용하면, \[\mathcal{J}(z_2)-\mathcal{J}(z_1) = -\frac{d}{dt}\int_{\Omega(z_1,z_2)} q\,dV - \int_{\Sigma_{\mathrm{side}}(z_1,z_2)}(\mathbf{S}-q\mathbf{w})\cdot\mathbf{n}\,dA. \label{eq:part11_kr_J_diagnostic}\] 따라서 불변량 붕괴는 “축방향으로 전하가 축적/소산됨” 또는 “측면 누설”의 정량 측도다.

11.3.1.1 명제 11.2(Cauchy–Schwarz 콜리메이션 상계).

\(e_{\mathrm{a}}=\int f\,dv>0\)라 하자. 그러면 \[\|\mathbf{S}_\perp(x,t)\|^2 \le e_{\mathrm{a}}(x,t)\,M_\perp(x,t), \qquad |\mathbf{S}_\parallel(x,t)\cdot k(x,t)|^2 \le e_{\mathrm{a}}(x,t)\,M_\parallel(x,t). \label{eq:part11_kr_CS_bounds}\] 특히 \(M_\parallel>0\)이면 \[\frac{\|\mathbf{S}_\perp\|}{|\mathbf{S}_\parallel\cdot k|} \le \sqrt{\frac{M_\perp}{M_\parallel}} = \sqrt{\frac{a_k}{1-a_k}}. \label{eq:part11_kr_opening_angle_bound}\]

11.3.1.2 증명.

\(v=v_\parallel k+v_\perp\)로 분해하면 \(\mathbf{S}_\perp=\int v_\perp f\,dv\), \(\mathbf{S}_\parallel\cdot k=\int v_\parallel f\,dv\). Cauchy–Schwarz로 \[\left\|\int v_\perp f\,dv\right\|^2\le \left(\int f\,dv\right)\left(\int \|v_\perp\|^2 f\,dv\right)=e_{\mathrm{a}}M_\perp,\] \[\left(\int v_\parallel f\,dv\right)^2\le \left(\int f\,dv\right)\left(\int v_\parallel^2 f\,dv\right)=e_{\mathrm{a}}M_\parallel.\] 제곱근을 취해 나누면 [eq:part11_kr_opening_angle_bound]. \(\square\)

11.3.1.3 관측 연결(개구각\(\to a_k\)).

\(\eta_0\)가 충분히 작고 \(\theta_j\)가 작으면 \(\tan\theta_j\approx \|\mathbf{S}_\perp\|/|\mathbf{S}_\parallel\cdot k|\)이므로, \[\tan\theta_j \lesssim \sqrt{\frac{a_k}{1-a_k}} \quad\Longrightarrow\quad a_k \gtrsim \frac{\tan^2\theta_j}{1+\tan^2\theta_j}=\sin^2\theta_j. \label{eq:part11_kr_ak_from_theta}\] 특히 \(\theta_j\ll 1\)이면 \(a_k\lesssim \theta_j^2\) 수준의 강정렬이 필요함을 시사한다(부등식의 느슨함을 감안하되, 방향성은 명확).

11.3.2.1 이방성 응력 닫힘(최소).

강정렬(제트) 레짐에서 대칭 최소 닫힘: \[\mathbf{T} = \kappa_\parallel\,e_{\mathrm{a}}\,P_\parallel + \kappa_\perp\,e_{\mathrm{a}}\,P_\perp, \qquad \kappa_\parallel\ge 0,\ \kappa_\perp\ge 0\ \text{(\textsf{LOCK})}. \label{eq:part11_kr_T_aniso}\]

11.3.2.2 실현가능성(속도 상한) 게이트.

\(\mathbf{T}\)가 2차 속도 모멘트를 나타낸다면, 속도 상한은 \[\mathrm{tr}(\mathbf{T})=(\kappa_\parallel+2\kappa_\perp)e_{\mathrm{a}}\le c^2 e_{\mathrm{a}} \quad\Rightarrow\quad \kappa_\parallel+2\kappa_\perp\le c^2 \label{eq:part11_kr_T_trace_gate}\] 를 강제한다(GATE).

11.3.2.3 이방성 드래그(개방 채널 조건).

\[\mathbf{B} = B_\parallel\,P_\parallel + B_\perp\,P_\perp, \qquad B_\parallel\ge 0,\ B_\perp\ge 0\ \text{(\textsf{LOCK})}. \label{eq:part11_kr_B_aniso}\] 축 개방/횡 구속의 핵심 조건은 \[B_\parallel \ll B_\perp \label{eq:part11_kr_open_channel}\] 이다. 즉 횡방향은 강감쇠, 축방향은 상대적으로 자유다.

11.3.3.1 횡방향 투영(얇은 튜브 근사).

\(k\)가 천천히 변한다고 가정(튜브 근사)하여 투영자의 구배항을 무시하면, \[\partial_t \mathbf{S}_\perp + \nabla_\perp(\kappa_\perp e_{\mathrm{a}}) \approx - B_\perp\,\mathbf{S}_\perp + e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_\perp + \mathbf{R}_{S,\perp}, \qquad \nabla_\perp:=P_\perp\nabla. \label{eq:part11_kr_Sperp_eq}\]

11.3.3.2 준정상 횡평형.

제트 코어에서 \(\partial_t\mathbf{S}_\perp\approx 0\), \(\mathbf{R}_{S,\perp}\approx 0\)이면 \[\mathbf{S}_\perp \approx \frac{1}{B_\perp}\Big(e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_\perp-\nabla_\perp(\kappa_\perp e_{\mathrm{a}})\Big). \label{eq:part11_kr_Sperp_balance}\] 따라서 강콜리메이션의 충분조건은 \[\frac{1}{B_\perp}\Big(\|e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_\perp\|+\|\nabla_\perp(\kappa_\perp e_{\mathrm{a}})\|\Big) \ll |\mathbf{S}_\parallel\cdot k|. \label{eq:part11_kr_collimation_condition_general}\] 즉 \(B_\perp\)가 클수록, \(\kappa_\perp\)가 작을수록, 횡구동이 약할수록 제트가 좁아진다.

11.3.3.3 콜리메이션 게이트(실무용).

LOCK 비율 \(\epsilon_{\mathrm{col}}\ll 1\)로 \[G_{\mathrm{col}}(x,t):= H\!\left(\epsilon_{\mathrm{col}}-\frac{\|\mathbf{S}_\perp(x,t)\|}{|\mathbf{S}_\parallel(x,t)\cdot k(x,t)|+\eta_0}\right) \label{eq:part11_kr_Gcol}\] 를 정의한다.

11.3.4.1 무누설 코어에서의 횡평형.

튜브 내부에서 \(\mathbf{S}_\perp\approx 0\)이면 [eq:part11_kr_Sperp_balance]로부터 \[\nabla_\perp(\kappa_\perp e_{\mathrm{a}}) \approx e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_\perp. \label{eq:part11_kr_no_leak_balance}\] \(\kappa_\perp\)가 코어에서 거의 상수이면, \[\nabla_\perp \ln e_{\mathrm{a}} \approx \frac{1}{\kappa_\perp}\mathbf{F}_\perp.\] [eq:part11_kr_confining_force]를 대입하고 횡평면에서 원형대칭(\(r=\|\mathbf{r}_\perp\|\))을 가정하면, \[\frac{d}{dr}\ln e_{\mathrm{a}}(r)\approx -\frac{\Omega_c^2}{\kappa_\perp}r\] 이므로 적분하여 \[e_{\mathrm{a}}(r)\approx e_{\mathrm{a}}(0)\, \exp\!\left(-\frac{\Omega_c^2}{2\kappa_\perp}r^2\right) \label{eq:part11_kr_gaussian_ea}\] 를 얻는다(가우시안 제트 코어).

11.3.4.2 제트 반경 추정.

\(1/e\) 반경 \(R_j\)를 \(e_{\mathrm{a}}(R_j)=e_{\mathrm{a}}(0)e^{-1}\)로 정의하면, \[R_j \approx \sqrt{\frac{2\kappa_\perp}{\Omega_c^2}}. \label{eq:part11_kr_Rj}\] 따라서 \(\Omega_c\)가 클수록(강구속) 제트는 좁아지고, \(\kappa_\perp\)가 클수록(횡 “압”이 강함) 제트는 넓어진다.

11.4.3.1 유효 관성/장력.

균일 코어 근사에서 \[I:=\int_{\Sigma} e_{\mathrm{a}}\,dA \approx A e_0, \qquad T:=\int_{\Sigma} \kappa_\parallel e_{\mathrm{a}}\,dA \approx A\kappa_\parallel e_0 \label{eq:part11_kr_I_T_def}\] 로 둔다. 횡감쇠는 \(\nu_\perp>0\)(대략 \(B_\perp\)에 비례)로 모델링한다. 구속 강성은 \(K_c:=I\Omega_c^2\)이다.

11.4.3.2 구속 포함 선형식.

\[I\,\partial_t^2 \boldsymbol{\xi} +\nu_\perp I\,\partial_t \boldsymbol{\xi} +K_c\,\boldsymbol{\xi} - T\,\partial_z^2 \boldsymbol{\xi} =0. \label{eq:part11_kr_transverse_string}\] 평면파 \(\boldsymbol{\xi}\propto e^{i(kz-\omega t)}\)를 대입하면 \[-\omega^2 + i\nu_\perp\omega + \Omega_c^2 + c_T^2 k^2 = 0, \qquad c_T^2:=\frac{T}{I}\approx \kappa_\parallel. \label{eq:part11_kr_transverse_dispersion}\] \(\nu_\perp>0\)이고 \(\Omega_c^2+c_T^2 k^2\ge 0\)이면 지수성 성장은 없다(감쇠 진동/감쇠).

11.4.3.3 외부 전단의 최소 불안정 모형.

외부 전단이 횡방향 변위를 증폭시키는 효과를 “음의 강성” \(-\sigma_{\mathrm{sh}}^2\)로 포함하면 \[I\,\partial_t^2 \boldsymbol{\xi} +\nu_\perp I\,\partial_t \boldsymbol{\xi} +I(\Omega_c^2-\sigma_{\mathrm{sh}}^2)\boldsymbol{\xi} - T\,\partial_z^2 \boldsymbol{\xi} =0. \label{eq:part11_kr_transverse_shear}\] 안정 조건은 \[\Omega_c^2-\sigma_{\mathrm{sh}}^2\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \Omega_c \ge \sigma_{\mathrm{sh}}. \label{eq:part11_kr_shear_stability}\] 이 부등식이 깨지면 킨크/굴절 붕괴가 예상된다(GATE).

11.4.4.1 (i) 가변 단면 1D 모형에서의 소시지 모드 분산관계.

단면적 \(A(z,t)\)와 축방향 처리율 \(J(z,t):=A(z,t)\bar S(z,t)\)를 두자. 무누설에서 \[\partial_t\big(A\bar e_{\mathrm{a}}\big)+\partial_z\big(A\bar S\big)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \partial_t(A\bar e_{\mathrm{a}})+\partial_z J=0. \label{eq:part11_kr_variable_area_cont}\] 또한 [eq:part11_kr_1D_S]를 \(A\)로 곱한 보존형 근사: \[\partial_t J + \partial_z\big(A\kappa_\parallel \bar e_{\mathrm{a}}\big)= -B_\parallel J. \label{eq:part11_kr_variable_area_S}\] \(B_\parallel=0\)에서 선형화하면(표준 계산) 분산관계는 \[\omega^2=\kappa_\parallel k^2, \label{eq:part11_kr_sausage_dispersion}\] 이므로 \(\kappa_\parallel\ge 0\)에서는 지수성 성장(불안정)이 없다. \(B_\parallel>0\)은 감쇠만 추가한다.

11.4.4.2 (ii) 확산적 팽윤 게이트.

횡방향 유효 확산계수를 \[D_\perp := \frac{\kappa_\perp}{B_\perp+\eta_0} \label{eq:part11_kr_Dperp}\] 로 정의한다(이방성 응력/드래그의 비로 나타나는 최소 형태). 반경 \(R_j\)에서의 횡확산 시간은 \[t_{\mathrm{diff},\perp}\sim \frac{R_j^2}{D_\perp}. \label{eq:part11_kr_tdiff}\] 축방향으로 길이 \(L\)을 이동하는 대류 시간은 \[t_{\mathrm{adv}}\sim \frac{L}{u_\parallel}, \qquad u_\parallel:=\frac{\bar S}{\bar e_{\mathrm{a}}+\eta_0}. \label{eq:part11_kr_tadv}\] 제트가 \(L\) 구간에서 유지되려면 \[t_{\mathrm{diff},\perp}\gg t_{\mathrm{adv}} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{R_j^2}{D_\perp}\gg \frac{L}{u_\parallel}. \label{eq:part11_kr_diffusive_survival}\] 이 조건이 깨지면 좁은 제트는 넓은 바람(wind)으로 붕괴한다.

12.1.1.1 등방 닫힘 하에서의 플럭스 방정식.

일반 플럭스 동역학(PART 06 형태)에서 시작한다: \[\partial_t \mathbf{S} + \nabla\cdot\mathbf{T} = -\mathbf{B}\mathbf{S} + e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_{\mathrm{eff}} + \mathbf{R}_S, \label{eq:part12_S_eq_general}\] 여기서 \(\mathbf{B}\)는 (가능한 비등방) 드래그/저항 텐서, \(\mathbf{F}_{\mathrm{eff}}\)는 유효 구동력(결손, 경계 구동 등 포함), \(\mathbf{R}_S\)는 선택적 소스 항들의 묶음이다.

[eq:part12_isotropic_T]를 쓰면 \(\nabla\cdot\mathbf{T}=\nabla(\kappa_T e_{\mathrm{a}})=\nabla p_v\) 이므로: \[\partial_t \mathbf{S} + \nabla p_v = -\mathbf{B}\mathbf{S} + e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_{\mathrm{eff}} + \mathbf{R}_S. \label{eq:part12_S_eq_isotropic}\]

12.1.3.1 정렬 결손 \(a_k\)(복습).

활성 상의 분포 \(f(x,v,t)\)와 축 필드 \(k(x,t)\)를 이용하여 \[M_\parallel:=\int (v\cdot k)^2 f\,dv, \qquad M_\perp:=\int \|v-(v\cdot k)k\|^2 f\,dv, \qquad a_k:=\frac{M_\perp}{M_\parallel+M_\perp}\in[0,1] \label{eq:part12_ak_def}\] 로 둔다. 강한 제트는 \(a_k\ll 1\)가 필요하다(PART 11). 스프링클러 outflow는 부분 정렬: 너무 작지도, 너무 크지도 않은 영역을 사용한다.

12.1.3.2 부분 정렬 게이트(LOCK).

LOCK 임계치 \(0<a_{\mathrm{jet}}<a_{\mathrm{spr}}<1\)를 고정하고 \[G_{\mathrm{part}}(x,t) := H\!\big(a_k(x,t)-a_{\mathrm{jet}}\big)\, H\!\big(a_{\mathrm{spr}}-a_k(x,t)\big) \label{eq:part12_Gpart}\] 로 정의한다. 따라서 \(G_{\mathrm{part}}=1\)은 정렬이 존재하되 “제트-강” 창(window)에는 들어가지 않음을 뜻한다.

12.1.3.3 낮은 구속 게이트(LOCK).

\(\Omega_c(x,t)\ge 0\)를 구속 강도 진단값(confinement strength diagnostic)으로 둔다(PART 11에서는 횡 복원 주파수로 사용). LOCK 상한 \(\Omega_{\mathrm{spr,max}}\)를 고정하고 \[G_{\mathrm{lowconf}}(x,t):=H\!\big(\Omega_{\mathrm{spr,max}}-\Omega_c(x,t)\big) \label{eq:part12_Glowconf}\] 로 정의한다. 이는 스프링클러가 좁은 제트 튜브를 만드는 강한 기하학적 구속 레짐에 있지 않도록 강제한다.

12.1.3.4 비-제트 게이트.

\(G_{\mathrm{JET}}\)를 PART 11의 제트 게이트(축 잠금, 콜리메이션, 구속, 채널, 파워 게이트의 합성)라 하자. 다음을 정의한다: \[G_{\neg\mathrm{JET}} := 1 - \min(1,G_{\mathrm{JET}}) \label{eq:part12_Gnotjet}\] 따라서 \(G_{\neg\mathrm{JET}}=1\)은 계가 제트 강제 레짐에 있지 않음을 뜻한다.

12.1.4.1 법선 드래그와 개방성.

\(\mathbf{B}(x,t)\)를 대칭 양의 준정부호(symmetric positive semidefinite)라 하자. 바깥 법선 \(\mathbf{n}\)을 갖는 표면에서의 법선 저항(normal resistance)을 \[B_n(x,t):=\mathbf{n}(x,t)\cdot \mathbf{B}(x,t)\,\mathbf{n}(x,t)\ \ge 0 \label{eq:part12_Bn}\] 로 정의한다. \(B_n\)이 작으면 표면이 투과적(열림), 크면 봉인(닫힘) 상태를 의미한다.

12.1.4.2 기하학적 “열린-선(open-line)” 조건.

많은 항성/원반 맥락에서는 outflow가 국소 방향 \(k\) (자기장/회전에 의해 조직화된 방향)으로 선호된다. 표면에서 탈출하려면 \(k\)가 충분한 바깥 성분을 가져야 한다. LOCK 허용각 \(\theta_{\mathrm{open}}\in(0,\pi/2)\)를 고정하고 \[G_{k\cdot n}(x,t):=H\!\big(k(x,t)\cdot \mathbf{n}(x,t)-\cos\theta_{\mathrm{open}}\big) \label{eq:part12_Gkdotn}\] 로 정의한다.

12.1.4.3 개구(홀) 게이트(LOCK).

LOCK 법선저항 임계치 \(B_{n,\mathrm{open}}>0\)을 고정하고 \[G_{\mathrm{open}}(x,t):= H\!\big(B_{n,\mathrm{open}}-B_n(x,t)\big)\,G_{k\cdot n}(x,t) \label{eq:part12_Gopen}\] 로 정의한다. 즉 표면 점이 (i) 법선 저항이 작고, (ii) 정렬 축이 충분히 바깥쪽이면 열린(open) 것으로 선언한다.

12.1.4.4 바깥 구동(outward-drive) 진단값.

[eq:part12_S0]로부터, (리미터 적용 전) 예측 법선 플럭스는 \[S_{0n}(x,t):=\mathbf{S}_0(x,t)\cdot \mathbf{n}(x,t) = \mathbf{n}\cdot \mathbf{B}^{-1}\Big(e_{\mathrm{a}}\mathbf{F}_{\mathrm{eff}} - \nabla p_v + \mathbf{R}_S\Big) \label{eq:part12_S0n}\] 이다. 양의 바깥 경향을 요구하는 바깥 구동 게이트를 정의한다. LOCK 최소 바깥 플럭스 \(S_{n,\min}\ge 0\)을 고정: \[G_{\mathrm{drive}}(x,t):=H\!\big(S_{0n}(x,t)-S_{n,\min}\big) \label{eq:part12_Gdrive}\]

12.1.5.1 합성 스프링클러 게이트.

발사 표면 \(\Sigma\)에서의 스프링클러 게이트를 \[G_{\mathrm{SPR}}(x,t) := G_{\neg\mathrm{JET}}\, G_{\mathrm{part}}(x,t)\, G_{\mathrm{lowconf}}(x,t)\, G_{\mathrm{open}}(x,t)\, G_{\mathrm{drive}}(x,t), \qquad x\in\Sigma \label{eq:part12_GSPR}\] 로 정의한다.

12.1.5.2 스프링클러 레짐(정의).

시간 \(t\)에 계가 스프링클러 레짐에 있다고 말하려면 \[\Sigma_{\mathrm{open}}(t):=\{x\in\Sigma(t):\ G_{\mathrm{SPR}}(x,t)=1\} \label{eq:part12_Sigma_open}\] 의 면적 측도가 양이어야 한다: \[\mathrm{Area}\big(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\big)>0. \label{eq:part12_sprinkler_regime_def}\] 스프링클러 outflow rate는 열린 집합 위에서 리미트된 플럭스 [eq:part12_S_limited]를 적분하여 정의한다(§12.2).

12.2.1.1 홀(Hole).

홀은 \(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\)의 연결 성분 \(\mathcal{H}_i(t)\) 중 위상적으로 단순연결(simply connected)이며 길쭉하지 않은(종횡비가 제한된) 성분이다: \[\mathcal{H}_i(t)\ \text{는 }\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\ \text{의 연결 성분이며 종횡비가 유한하다.}\]

12.2.1.2 채널(Channel).

채널은 \(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\)의 연결 성분 \(\mathcal{C}_j(t)\) 중 큰 종횡비를 가지는(좁은 통로 형태로 영역을 연결하는) 성분이다: \[\mathcal{C}_j(t)\ \text{는 }\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\ \text{의 연결 성분이며 종횡비가 크다.}\]

12.2.1.3 비고(기하학 비의존 구현).

종횡비는 기하학적 측정을 요구하므로, 구현에서는 LOCK 형태학적(morphological) 기준(예: 지오데식 두께 대비 길이)을 사용하여 각 연결 성분을 홀/채널로 분류할 수 있다. 이론적으로 필요한 것은 \(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\)가 서로소 연결 성분들로 분해된다는 사실뿐이다: \[\Sigma_{\mathrm{open}}(t)=\left(\bigsqcup_i \mathcal{H}_i(t)\right)\ \sqcup\ \left(\bigsqcup_j \mathcal{C}_j(t)\right) \label{eq:part12_open_decomposition}\] (영측도 경계 집합은 제외).

12.2.3.1 명제 12.1(스프링클러 처리량 상계).

임의의 표면 \(\Sigma\)와 임의의 열린 집합 \(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\subset\Sigma\)에 대해 outflow rate는 다음을 만족한다: \[\dot Q_{\mathrm{spr}}(t) \le \int_{\Sigma_{\mathrm{open}}(t)} \|\mathbf{S}(x,t)\|\,dA \le c\int_{\Sigma_{\mathrm{open}}(t)} e_{\mathrm{a}}(x,t)\,dA \label{eq:part12_Qspr_bound}\] 특히 \(e_{\mathrm{a}}(x,t)\le 1\)이면 \[\dot Q_{\mathrm{spr}}(t) \le c\,\mathrm{Area}\big(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\big) \label{eq:part12_Qspr_area_bound}\]

12.2.3.2 증명.

\(\mathbf{n}\)은 단위벡터이므로 \(S_n=\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}\le \|\mathbf{S}\|\) 이다. 따라서 \[\dot Q_{\mathrm{spr}}=\int_{\Sigma_{\mathrm{open}}} S_n\,dA \le \int_{\Sigma_{\mathrm{open}}}\|\mathbf{S}\|\,dA.\] 속도 제한 [eq:part12_speedlimit]에 의해 \(\|\mathbf{S}\|\le c e_{\mathrm{a}}\)이므로 [eq:part12_Qspr_bound]를 얻는다. 마지막으로 \(e_{\mathrm{a}}\le 1\)이면 [eq:part12_Qspr_area_bound]가 따른다. \(\square\)

12.2.3.3 열린 면적 비율 스케일링.

\(A_{\mathrm{tot}}:=\mathrm{Area}(\Sigma)\)라 두고 \[f_{\mathrm{open}}(t):=\frac{\mathrm{Area}\big(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\big)}{A_{\mathrm{tot}}}\in[0,1] \label{eq:part12_fopen}\] 를 정의한다. 그러면 [eq:part12_Qspr_area_bound]는 \[\dot Q_{\mathrm{spr}}(t)\le c\,f_{\mathrm{open}}(t)\,A_{\mathrm{tot}} \label{eq:part12_Qspr_fopen_bound}\] 를 함의한다. 반지름 \(R_*\)인 구형 항성 표면의 경우 \(A_{\mathrm{tot}}=4\pi R_*^2\)이므로: \[\dot Q_{\mathrm{spr}}(t)\le 4\pi R_*^2\,c\,f_{\mathrm{open}}(t) \label{eq:part12_Qspr_sphere_bound}\]

12.2.4.1 결손/배경의 함수로서의 표면 법선 저항장.

LOCK 구성 사상 \[B_n(x,t)=\mathcal{B}_n\!\big(a_k(x,t),\,e_{\mathrm{bg}}(x,t),\,\chi(x,t)\big), \qquad \mathcal{B}_n\ge 0 \label{eq:part12_Bn_constitutive}\] 을 정의한다. 여기서 \(\chi(x,t)\)는 선택적 표면 활동 지표(예: 가열/구동 인덱스)로, 입력 관측량 또는 내부 진단값으로 취급한다.

가장 단순한 단조(monotone) 선택은: \[\mathcal{B}_n(a,e_{\mathrm{bg}},\chi) := B_{n0}\,\big(1+\beta_a a+\beta_{\mathrm{bg}} e_{\mathrm{bg}}\big)\,\frac{1}{1+\beta_\chi \chi}, \qquad B_{n0}>0,\ \beta_a,\beta_{\mathrm{bg}},\beta_\chi\ge 0\ \text{(\textsf{LOCK})} \label{eq:part12_Bn_minimal}\] 이다. 그러면:

• 무질서가 커질수록(\(a_k\) 증가) 저항이 증가(홀 감소),

• 배경/잼(jamming)이 커질수록(\(e_{\mathrm{bg}}\) 증가) 저항이 증가,

• 활동/가열이 커질수록(\(\chi\) 증가) 저항이 감소(홀 증가).

[eq:part12_Bn_minimal]을 쓰면 \(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\)는 \(\chi\)의 상위수준집합(superlevel) (또는 \(a_k,e_{\mathrm{bg}}\)의 하위수준집합)으로 구현되어, 스칼라장 임계화(thresholding)의 연결 성분으로서 홀/채널이 자연스럽게 생성된다. 이는 수학적으로 엄밀하게 정의된다.

12.3.2.1 케이스 1: 압력-구동 확산 바람(\(F_r\approx 0\)).

외부 영역에서 유효 힘이 압력구배 구동에 비해 무시 가능하면(\(F_r\approx 0\)): \[\kappa_T \frac{d e_{\mathrm{a}}}{dr} = - B_r(r)\,\frac{\dot Q}{4\pi r^2} \label{eq:part12_ea_ODE_diff}\] 기저 반지름 \(R_*\)에서 \(r\)까지 적분하면: \[\kappa_T\big(e_{\mathrm{a}}(r)-e_{\mathrm{a}}(R_*)\big) = -\frac{\dot Q}{4\pi}\int_{R_*}^{r}\frac{B_r(s)}{s^2}\,ds \label{eq:part12_ea_integral}\] 활성 상이 먼 곳에서 희석되어 \(e_{\mathrm{a}}(r)\to 0\) (\(r\to\infty\))라면, \(r\to\infty\)를 취하여 처리량公式을 얻는다: \[\dot Q = 4\pi\,\kappa_T\,e_{\mathrm{a}}(R_*)\left[\int_{R_*}^{\infty}\frac{B_r(s)}{s^2}\,ds\right]^{-1} \label{eq:part12_Q_from_drag_integral}\] 즉 바람 처리량은 기저 활성 분율 \(e_{\mathrm{a}}(R_*)\)과 압력 계수 \(\kappa_T\)에 비례하고, 드래그 장벽 \(\int B_r/s^2\)에 반비례한다.

12.3.2.2 상수 드래그 예(폐형 해).

\(B_r(s)\equiv B_0\) ( \(s\ge R_*\) )이면 \(\int_{R_*}^{\infty} B_0 s^{-2}ds = B_0/R_*\)이므로 \[\dot Q \approx 4\pi\,\kappa_T\,e_{\mathrm{a}}(R_*)\,\frac{R_*}{B_0} \label{eq:part12_Q_constant_drag}\] [eq:part12_Sr_Q]와 결합하면 \(S_r(r)\sim (\kappa_T e_{\mathrm{a}}(R_*)R_*/B_0)\,r^{-2}\).

12.3.2.3 케이스 2: 힘-보조 바람(일반 \(F_r\)).

\(F_r\)를 무시할 수 없으면 [eq:part12_ea_ODE_general]은 1차 선형 ODE이다: \[\frac{d e_{\mathrm{a}}}{dr} - \frac{F_r(r)}{\kappa_T} e_{\mathrm{a}}(r) = -\frac{\dot Q}{4\pi \kappa_T}\frac{B_r(r)}{r^2} \label{eq:part12_linear_ODE}\] 적분 인자(integrating factor) \[\mu(r):=\exp\!\left(-\int_{R_*}^{r}\frac{F_r(\xi)}{\kappa_T}\,d\xi\right) \label{eq:part12_integrating_factor}\] 를 도입하면 \[\frac{d}{dr}\big(\mu(r)e_{\mathrm{a}}(r)\big) = -\frac{\dot Q}{4\pi \kappa_T}\mu(r)\frac{B_r(r)}{r^2} \label{eq:part12_IF_eq}\] 무한대에서 \(e_{\mathrm{a}}(\infty)=0\) 경계조건으로 적분하면: \[\mu(R_*)e_{\mathrm{a}}(R_*) = \frac{\dot Q}{4\pi \kappa_T}\int_{R_*}^{\infty}\mu(s)\frac{B_r(s)}{s^2}\,ds \quad\Rightarrow\quad \dot Q = 4\pi \kappa_T e_{\mathrm{a}}(R_*)\,\left[\int_{R_*}^{\infty}\mu(s)\frac{B_r(s)}{s^2}\,ds\right]^{-1} \label{eq:part12_Q_general_force}\] 이는 \(F_r=0\)이면(\(\mu\equiv 1\)) [eq:part12_Q_from_drag_integral]로 환원된다.

12.3.3.1 구기하에서의 처리량 상계.

[eq:part12_Sr_Q]와 [eq:part12_speedlimit]을 사용하면 \[\frac{\dot Q}{4\pi r^2} = |S_r(r)| \le c\,e_{\mathrm{a}}(r) \quad\Rightarrow\quad \dot Q\le 4\pi r^2 c\,e_{\mathrm{a}}(r)\quad \forall r\ge R_* \label{eq:part12_Q_bound_all_r}\] 특히 기저에서: \[\dot Q \le 4\pi R_*^2 c\,e_{\mathrm{a}}(R_*) \label{eq:part12_Q_bound_base}\] 표면 개방이 부분적(홀/채널)이라면, [eq:part12_Qspr_fopen_bound]처럼 \(4\pi R_*^2\)를 열린 면적 \(A_{\mathrm{open}}=f_{\mathrm{open}}4\pi R_*^2\)로 대체한다.

12.3.4.1 약한 구동(비포화) 스케일링.

열린 영역에서 \(S_{0n}(x,t)\ll c e_{\mathrm{a}}(x,t)\)이면 \[\dot Q_{\mathrm{spr}}(t)\approx \int_{\Sigma_{\mathrm{open}}(t)} S_{0n}(x,t)\,dA \label{eq:part12_Qspr_weakdrive}\] 특히 \(S_{0n}\)이 열린 영역에서 거의 상수라면 \(S_{0n}\approx \bar S_{0n}\): \[\dot Q_{\mathrm{spr}}(t)\approx \bar S_{0n}(t)\,A_{\mathrm{open}}(t) =\bar S_{0n}(t)\,f_{\mathrm{open}}(t)\,A_{\mathrm{tot}} \label{eq:part12_Qspr_linear_fopen}\] 이는 관측 게이트를 즉시 제공한다: 비포화 스프링클러 레짐에서는 outflow rate가 열린 면적 비율과 대략 선형으로 스케일해야 한다.

12.3.4.2 강한 구동(포화) 스케일링.

열린 영역에서 \(S_{0n}\gg c e_{\mathrm{a}}\)이면 outflow는 처리량 제한에서 포화된다: \[\dot Q_{\mathrm{spr}}(t)\approx c\int_{\Sigma_{\mathrm{open}}(t)} e_{\mathrm{a}}(x,t)\,dA \label{eq:part12_Qspr_saturated}\] 이는 상계 [eq:part12_Qspr_bound]를 근사적 등식으로 회복한다.

12.4.2.1 (i) 제트 게이트(PART 11).

\(G_{\mathrm{JET}}\)을 제트 합성 게이트(축 잠금, 강한 콜리메이션, 구속, 열린 채널, 파워)라 하자. 원반에서는 축이 보통 스핀 축(원반 법선)에 가깝다.

12.4.2.2 (ii) 스프링클러(원반 바람) 게이트.

\(\Sigma_{\mathrm{disk}}^\pm\)에서 [eq:part12_GSPR]의 정의를 \(\mathbf{n}=\pm \hat z\)로 적용: \[G_{\mathrm{SPR}}^\pm(R,\phi,t):= G_{\neg\mathrm{JET}}\, G_{\mathrm{part}}\, G_{\mathrm{lowconf}}\, G_{\mathrm{open}}^\pm\, G_{\mathrm{drive}}^\pm.\] 열림/구동 게이트는 \(\mathbf{n}_\pm\)로 계산한다: \[G_{\mathrm{open}}^\pm = H\!\big(B_{n,\mathrm{open}}-B_n^\pm\big)\, H\!\big(k\cdot (\pm \hat z)-\cos\theta_{\mathrm{open}}\big), \quad B_n^\pm:=(\pm \hat z)\cdot \mathbf{B}(\pm \hat z) \label{eq:part12_Gopen_disk}\] 그리고 \(G_{\mathrm{drive}}^\pm:=H(S_{0n}^\pm-S_{n,\min})\)이며 \[S_{0n}^\pm:=\mathbf{S}_0\cdot (\pm \hat z).\]

12.4.2.3 (iii) 무-outflow(닫힘) 게이트.

\[G_{\mathrm{CLOSED}}^\pm := 1-\min\!\big(1,\ G_{\mathrm{JET}}+G_{\mathrm{SPR}}^\pm\big) \label{eq:part12_Gclosed}\] 를 정의한다. \(G_{\mathrm{CLOSED}}^\pm=1\)은 그 표면 패치에서 제트도, 스프링클러 바람도 강제되지 않음을 뜻한다.

12.4.3.1 콜리메이션 비.

영역에서 \[\mathcal{C}(x,t):=\frac{\|\mathbf{S}_\perp(x,t)\|}{|\mathbf{S}_\parallel(x,t)\cdot k(x,t)|+\eta_0}, \qquad G_{\mathrm{col}}:=H(\epsilon_{\mathrm{col}}-\mathcal{C}) \label{eq:part12_collimation_ratio}\] 를 정의한다. 여기서 \(\epsilon_{\mathrm{col}}\ll 1\)은 LOCK 값이다. 제트는 \(G_{\mathrm{col}}=1\)을 요구하는 반면, 스프링클러 바람은 보통 \(\mathcal{C}\)가 작지 않아 \(G_{\mathrm{col}}=0\)이다.

12.4.3.2 전이 부등식(충분 조건).

유선(streamline)을 따라 “원반 바람 \(\to\) 제트” 전이에 대한 충분조건은 \[a_k \le a_{\mathrm{jet}} \quad\text{and}\quad \Omega_c \ge \Omega_{\min} \quad\text{and}\quad \frac{B_\perp}{B_\parallel+\eta_0}\ge \Xi_{\min} \quad\text{and}\quad G_{\mathrm{pow}}=1 \label{eq:part12_wind_to_jet_condition}\] 이다. 여기서 \((\Omega_{\min},\Xi_{\min})\)은 LOCK 제트 임계치이다(PART 11). 첫째는 정렬, 둘째는 구속, 셋째는 비등방적 열린 채널링, 넷째는 파워 공급/구동 조건이다.

12.4.3.3 역전이(제트 \(\to\) 바람) 및 폭확대.

구속이 약해지거나(\(\Omega_c\) 감소), 횡방향 확산이 커지면(아래 §12.5의 게이트 참조) 제트는 바람으로 퍼진다: \[\Omega_c \le \Omega_{\mathrm{spr,max}} \quad\text{or}\quad t_{\mathrm{diff},\perp}\lesssim t_{\mathrm{adv}} \quad\Rightarrow\quad \text{제트 콜리메이션이 유지되지 않음; outflow는 스프링클러 유사로 변함.} \label{eq:part12_jet_to_wind_condition}\]

12.5.1.1 Gate A1(국소).

모델은 점wise 상계 \[\|\mathbf{S}\|\le c e_{\mathrm{a}}\] 를 요구한다. 관측적으로 VP 플럭스를 물리적 질량/에너지 플럭스로 매핑할 때, 해당 매핑 아래에서 추정되는 바람 속도가 출현 제한 \(c\)를 지속적으로 넘으면 안 된다. 이는 구조적 게이트이며, 지속적 위반은 FAIL[speed-limit]이다.

12.5.1.2 Gate A2(전역).

표면에서: \[\dot Q_{\mathrm{spr}}(t) \le c\int_{\Sigma_{\mathrm{open}}(t)} e_{\mathrm{a}}\,dA \le c\,\mathrm{Area}\big(\Sigma_{\mathrm{open}}(t)\big) \label{eq:part12_gateA_global}\] 따라서 경험적으로 추정된 outflow rate는 [eq:part12_gateA_global]의 매핑 아날로그를 만족해야 한다. 위반은 FAIL[throughput-bound].

12.5.4.1 (D1) 축 조직화를 통한 회전/스핀 상관.

스핀 진단이 와도도 \(\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{u}\) 또는 각운동량 \(\mathbf{L}\) (PART 11) 기반이고, 스핀이 열린 영역에서 \(k\)를 바깥 법선 쪽으로 조직화한다면, \(f_{\mathrm{open}}\) 및/또는 열린 영역에서의 평균 \(k\cdot n\)은 스핀 강도와 상관해야 한다: \[\langle k\cdot n\rangle_{\Sigma_{\mathrm{open}}} \ \text{는}\ \|\boldsymbol{\omega}\|\ \text{또는}\ \|\mathbf{L}\|\ \text{과 함께 증가} \label{eq:part12_spin_correlation}\] 강한 바람이 나타나는데도 \(k\cdot n\)이 체계적으로 작다면(선언된 진단 기준에서) 이는 \(G_{k\cdot n}\) 구조와 모순이며 FAIL[axis-organization].

12.5.4.2 (D2) 비등방 저항을 통한 자기장 조직화 대리.

자기장 조직화가 \(\mathbf{B}\)에 부호화되어(예: 열린 선을 따라 \(B_n\) 감소) 있다면, \(f_{\mathrm{open}}\)은 자기장의 open-flux 대리량과 상관될 것으로 기대된다. VP 용어로: \[B_n \downarrow\ \Rightarrow\ G_{\mathrm{open}}\uparrow\ \Rightarrow\ f_{\mathrm{open}}\uparrow\ \Rightarrow\ \dot Q_{\mathrm{spr}}\uparrow\ \text{(비포화 레짐에서)} \label{eq:part12_magnetic_proxy}\] 다른 구동 요인이 거의 고정된 상황에서 outflow는 증가하는데 개방성 대리량은 감소한다면 FAIL[openness-correlation].

12.5.5.1 Gate E(전이 일관성).

계가 강한 정렬과 구속으로 넘어가면(예: 개구각의 감소, 콜리메이션 증가, 축 잠금 강화가 추정됨) 제트 게이트가 켜져야 하고, 형태(morphology)는 광각 바람에서 좁은 제트로 전이해야 한다. 반대로 구속을 잃거나 혼합-지배가 되면 제트는 바람으로 퍼져야 한다.

형태가 게이트 전이를 따라가지 않으면 FAIL[regime-transition].

12.6.1.1 고갈 vs 보충.

바람에 의한 국소 고갈 시간척도를 \[t_{\mathrm{wind}}(R,t):=\frac{\Sigma_q(R,t)}{S_z^+(R,t)+S_z^-(R,t)+\eta_0} \label{eq:part12_twind}\] 로 정의한다. 반지름 방향 보충 시간척도 \(t_{\mathrm{rad}}\)는 \(\mathcal{F}_R\)로부터(모델 의존; 관측된 accretion rate 대리량으로 추정 가능) 정의한다. 최소의 갭 형성/고갈 기준은 \[t_{\mathrm{wind}}(R,t)\ll t_{\mathrm{rad}}(R,t) \quad\Rightarrow\quad \text{바람-고갈이 지배적; 그 반지름에서 지속적인 저-$q$ 고리(갭) 예상} \label{eq:part12_gap_criterion}\] 이다. 이는 반증 가능한 게이트이다: 바람 손실이 보충보다 충분히 강하면, 그 반지름에서 구조적 고갈 서명이 나타나야 한다.

12.6.3.1 선택 확장의 끝.

이 확장은 (i) 표면 적분 저장량 \(\Sigma_q\)와 (ii) 이미 정의된 스프링클러 표면 플럭스만을 추가적으로 사용하며, VP 장부 프레임워크 안에 완전히 머문다.

13.1.1.1 LOCK(격자/셀 구조).

무대는 특성 셀 크기 \(a>0\)와 기준 셀 부피 \(v_\ast>0\)를 갖는 이산 셀 복합체(격자)로 모델링한다. 셀 집합을 \(\mathcal{C}\)라 하고, 각 셀 \(i\in\mathcal{C}\)에 무대 포장(점유) 변수 \[\phi_i(t)\in[0,1]\] (무차원 포장분율)을 둔다. 연속 근사에서 거칠게 평균화한 장을 \(\phi(x,t)\)로 둔다.

13.1.1.2 LOCK(재밍 임계치와 재밍 레짐).

재밍 임계치 \(\phi_J\in(0,1)\)를 LOCK하고, 재밍 레짐을 \[\mathcal{R}_{\mathrm{jam}}:=\{(x,t):\ \phi(x,t)\ge \phi_J\} \label{eq:part13_kr_Rjam}\] 로 정의한다. \(\mathcal{R}_{\mathrm{jam}}\)에서는 대규모 재배열이 억제되고(구조 잠김), 작은 변형만 허용된다(레짐 선언).

13.1.1.3 LOCK(무대 변위장과 변형률).

무대의 거시 변위장을 \(u(x,t)\in\mathbb{R}^3\)로 두고, 선형 변형률을 \[\varepsilon(u):=\frac{1}{2}\big(\nabla u+(\nabla u)^{\!\top}\big) \label{eq:part13_kr_strain}\] 로 정의한다. 이는 “작은 변형” 레짐에서 사용한다(레짐 선언).

13.1.1.4 LOCK(무대 강성 함수(자유에너지 유사)).

무대 강성을 반영하는 함수(기능적)로 \[\mathcal{F}_{\mathrm{stage}}[u;\mathcal{K},\mathcal{G},\phi] := \int_{\mathbb{R}^3} \left( \frac{\mathcal{K}(x,t)}{2}\big(\nabla\cdot u\big)^2 + \mathcal{G}(x,t)\,\Big\|\varepsilon(u)-\tfrac{1}{3}(\nabla\cdot u)\mathbf{I}\Big\|^2 + V_{\mathrm{jam}}(\phi(x,t)) \right)\,dV \label{eq:part13_kr_stage_functional}\] 를 둔다. 여기서 \(\mathcal{K}\ge 0\)는 벌크(체적) 강성, \(\mathcal{G}\ge 0\)는 전단 강성, \(V_{\mathrm{jam}}\ge 0\)은 재밍 잠김을 나타내는 포텐셜로서 \(\phi\downarrow\phi_J\) 근방에서 급격히 커지는 형태를 갖는다. \(V_{\mathrm{jam}}\)의 구체 형태는 본 PART에서 SPEC로 남긴다.

13.1.1.5 해석(LOCK).

JL 존재론에서 “진공”은 무대가 없는 상태가 아니라, 재밍된 무대의 기준 상태(\(u\equiv 0\), \(\phi=\phi_0\) 등)이다. 따라서 “빈 진공 에너지” 문제를 곧바로 배우의 에너지밀도로 환원시키지 않는다(§13.4).

13.1.2.1 DERIVE(준정적 무대 평형).

무대가 충분히 빠르게 완화하여 준정적이라면(레짐), \[\frac{\delta \mathcal{F}_{\mathrm{stage}}}{\delta u}(x,t)=0 \qquad \text{in }\mathcal{R}_{\mathrm{jam}} \label{eq:part13_kr_stage_equilibrium}\] 가 성립한다. 이는 벌크 압축, 전단 왜곡, 재밍 포텐셜 효과의 균형을 뜻한다.

13.1.2.2 HYP(유한 완화시간을 갖는 소산적 동역학).

준정적이 아니면, LOCK 완화시간 \(\tau_{\mathrm{bg}}>0\)를 두고 \[\partial_t u(x,t)=-\frac{1}{\tau_{\mathrm{bg}}}\,\frac{\delta \mathcal{F}_{\mathrm{stage}}}{\delta u}(x,t) \label{eq:part13_kr_stage_relaxation}\] 를 최소 가설로 둔다. 이는 무대가 에너지 기울기를 따라 소산적으로 진화한다는 HYP이다.

13.1.3.1 LOCK(스케일 계층).

\[a\ (\text{셀 스케일})\ \ll\ \ell\ (\text{거칠게 평균 스케일})\ \ll\ L\ (\text{우주론 스케일})\] 을 전제로 한다. \(\phi,\mathcal{K},\mathcal{G},e_{\mathrm{bg}},\mathbf{B}\) 등은 \(\ell^3\) 규모 평균으로 정의되는 유효장이다.

13.1.3.2 LOCK(JL 우주론 레짐).

JL 우주론 진술은 다음이 성립하는 구간에서만 사용한다: \[\ell\gg a, \qquad \phi(x,t)\ge \phi_J\ (\text{재밍 성립}), \qquad \text{무대 계수들이 }\ell\text{ 스케일에서 완만히 변함}. \label{eq:part13_kr_regime_jl}\] \(\phi<\phi_J\)가 거시적으로 나타나면 이 모듈은 적용 범위 밖이다.

13.2.1.1 LOCK(배우 부문).

배우는 보존 전하(예: \(q_{\mathrm{act}}=e\) 또는 \(e_{\mathrm{a}}\))를 운반하며, 기본 장부 형식은 \[\partial_t q_{\mathrm{act}} + \nabla\cdot\mathbf{S} = \mathcal{R}_{\mathrm{act}} \label{eq:part13_kr_actor_continuity}\] 이다. 닫힌 배우 부문에서는 \(\mathcal{R}_{\mathrm{act}}=0\)이며, 무대와 교환이 있으면 \(\mathcal{R}_{\mathrm{act}}\)는 교환항으로만 나타나야 한다(§13.3).

13.2.1.2 LOCK(무대 부문).

무대는 재밍된 매질이며, 배우 수송 계수(저항 \(\mathbf{B}\), 닫힘 계수 \(\kappa\) 등)와 강성(\(\mathcal{K},\mathcal{G}\))을 규정하는 내부상태를 갖는다. 무대 변수는 배우 플럭스로 수송되는 전하가 아니다(특별히 배경 플럭스를 도입하지 않는 한).

13.2.1.3 LOCK(비동일시 규칙).