부피입자(Volume-Particle, VP)로부터의 유체역학

로 주어진다. 이는 평균 후 Irving--Kirkwood 상호작용 응력의 자취(부록~A)와 일치한다. 재밍(강체) VP 레짐에서는 상호작용 부문이 보통 지배적이므로, $p\simeq p_{\rm int}+p_{\rm kin}$이며 $p_{\rm kin}$은 더 작은 운동론/열적 기여이다.

2.3.2 Tait--Murnaghan 상태방정식(권장 \LOCK)

밀도 요동이 작은 준-비압축 ``강체(stiff) 유체'' 레짐에서 $\delta\rho/\rho_0\ll 1$이면, 비리얼 압력은 Tait/Murnaghan형 EOS로 잘 근사된다. 강한 압력 모델이 필요할 때 사용할 압축성 닫힘으로 다음을 \LOCK\ 한다:

여기서 $\rho_0$는 기준 밀도이며(VP에서는 격자 간격 $a$와 질량 $m$에 대해 $\rho_0\sim m/a^3$), $\gamma>1$은 강성 지수(공학적으로는 물 같은 준-비압축 모델에서 흔히 $\gamma\simeq 7$을 쓰지만, 선택한 VP 반발 퍼텐셜의 곡률에 맞추어 조정할 수 있다), $B>0$는 벌크 모듈러스(체적 탄성률) 파라미터, $p_{\rm back}$은 배경 오프셋 압력이다.

2.3.3 수치 음속과 안정성(공학 제약)

\eqref{eq:tait_eos}가 함의하는 등엔트로피 음속은

이다. 준-비압축 레짐을 유지하려면 작은 마하수 $\mathrm{Ma}:=\max|\uv|/c_s\lesssim 0.1$(경험 규칙)을 강제한다. 따라서 실용적 설계 선택은

이며, 이는 강성 파라미터 $B$를 목표 속도 스케일에 묶는다. 또한 명시적 시간 적분에서는 통상적인 음향 CFL 안정성 제약 $\Delta t \lesssim \mathrm{CFL}\,\Delta x/(|\uv|+c_s)$도 만족해야 한다.

2.4 비압축 나비에--스토크스

비압축 한계에서는 $\rho=\rho_0$가 상수이고 $\nabla\!\cdot\uv=0$이다. 그러면

이고 \eqref{eq:NS_incompressible}가 따라온다.

2.5 VP에서 점성으로: 최소이면서 반증 가능한 매핑

본 백서는 정확히 유도 가능한 것과 모델 동일시를 분리한다.

• \DERIVE: $\mu$와 $\lambda$는 VP가 고정되면 임의가 아니다. 즉 조대화 응력 응답을 요약한 값이다.
• \GATE: VP 미시 파라미터 및 사건 통계 $(\phi,\text{사건율},\text{코어 크기},\dots)$에서 $(\mu,\lambda)$로 가는 사상은 경험적/수치적 식별이 필요하다.

유용한 최소 매핑은 맥스웰형 이완 그림을 통하는 것이다:

여기서 $G$는 일시적 재밍 네트워크의 국소 탄성률(전단 모듈러스), $\nu_{\rm tot}$은 전체 사건율이다. 이는 언재밍 활동이 커질수록(큰 $\phi\nu_{\rm tot}$) 점성이 낮아진다는 예측을 준다.

\begin{remark}[물리적 앵커: 메조 브리지 스케일 $D^\ast$] 나노--마이크로 하드웨어에 관련되는 방식으로 유효 점성 $\mu_{\rm eff}$를 물리적으로 고정(anchor)하기 위해, 메조 브리지 스케일 $D^\ast$를 도입하는 것이 유용하다. 이는 VP ``언재밍 사슬''(또는 더 일반적으로 VP 격자를 연속체로 취급할 수 있게 되는 길이) 의 상관 길이이다.

• 연속체 기준(VP 크누센 수). 다음을 정의한다:
$$ \mathrm{Kn}_{\rm VP}:=\frac{D^\ast}{L}, $$
• 실용적 수치 기준(67\,nm). 표준상태(STP) 공기의 분자 평균자유행로는 $\lambda_{\rm air}\approx 67\,\mathrm{nm}$로 알려져 있으며, 이는 마이크로/나노 유동에서 비연속체 효과가 나타나기 시작하는 익숙한 벤치마크이다. 본 백서는 유도에 의해 $D^\ast$를 $\lambda_{\rm air}$와 동일시하지 않는다. 다만 $\lambda_{\rm air}$는 보정 실험을 설계하고 해석할 때 유용한 자릿수(오더) 참조 스케일을 제공한다.
• 하드웨어 함의. 어떤 장치의 특성 길이 $L_{\rm feat}\lesssim D^\ast$이면, VP 매질은 이산 수송(슬립, 탄도 구간, 사건 지배 소산)을 보일 가능성이 크다. 반대로 $L_{\rm feat}\gg D^\ast$이면, 같은 매질이 유효 $(\mu,\lambda)$를 갖는 고전적 연속체 기술을 허용해야 한다.

여기서 $L$은 계의 대표 길이 스케일이다. 나비에--스토크스 닫힘은 $\mathrm{Kn}_{\rm VP}\ll 1$일 때 정확할 것으로 기대되며, $\mathrm{Kn}_{\rm VP}\sim \mathcal O(1)$은 슬립/탄도(ballistic) 레짐을 뜻하므로 비연속체 보정이 필요할 수 있다.

\noindent게이트 노트. $D^\ast$는 측정 가능한 파라미터이다. 제어된 형상에서 무슬립$\leftrightarrow$슬립 교차점(또는 스케일 의존 $\mu_{\rm eff}$의 발현)으로부터 추정할 수 있다. \end{remark}

\begin{remark}[벽 프로토콜(옵션 A 잠금): frozen-VP 무슬립 경계]\label{rem:wall_protocol} 1--2절의 나비에--스토크스 유도는 내부(interior) 진술이다. 그러나 $\mu_{\rm eff}$ 보정 또는 브리지 스케일 $D^\ast$ 추정은 필연적으로 벽을 포함하므로, 명시적 경계 프로토콜이 필요하다.

\medskip \noindent\LOCK\ BC-W1 (경계 레짐 선언). 벽 구동 실험/시뮬레이션(Couette/Poiseuille)로부터 $\mu_{\rm eff}$를 추정할 때는 반드시 (i) 무슬립 레짐(접선 운동량 완전 수용; full accommodation)을 강제하거나, (ii) 슬립 길이 $b$를 측정하여 부분-슬립(Navier) 경계조건을 사용해야 한다. 그렇지 않으면 벽 슬립이 $\mu_{\rm eff}$ 감소로 위장될 수 있다.

\medskip \noindent\LOCK\ BC-W2A (옵션 A, 본 권의 표준 선택: frozen-VP 벽). 고체 벽을, 거칠고 운동량을 수용하는 표면 역할을 하는 고정 VP 층(들)로 모델링한다. 이는 확산 반사/완전 수용 벽의 VP 아날로그이며, 뉴턴형 창에서 거시적 무슬립($b\approx 0$)을 유도하도록 설계된다.

• 기하. 정수 $n_w\ge 2$를 택하고, 두께 $h_w:=n_w a$의 벽을 만든다. 여기서 $a$는 VP 격자 간격이다. 벽 VP들을 준-격자 배치에 놓고, 정반사 대칭을 깨기 위해 진폭 $\delta\in[0.05,0.2]a$의 작은 난수 지터(거칠기)를 준다.
• 운동학. 벽 속도 $\uv_w$를 부과한다(예: Couette에서 $\pm \tfrac12\Delta U\,\hat{\mathbf x}$). 벽 VP는 무한 질량 캐리어로 취급하여 충돌로 가속되지 않게 한다. 운영적으로는 충돌이 유체로부터 운동량을 받아가되 벽 속도는 계속 부과된다는 뜻이다.
• 상호작용. 유체 VP는 벌크와 동일한 반발/접촉 법칙으로 벽 VP와 상호작용하며, 침투를 억제하기 위해 벽 계수 $\kappa_w\ge 1$를 더 크게 둘 수 있다. 벽이 거칠고 운동량을 수용하므로 접선 운동량 교환이 효율적이고 슬립이 감소한다.

\medskip \noindent\GATE\ BC-W3 (무슬립 검증; 벌크 $\mu$와 벽 슬립 분리). BC-W2A를 사용하더라도, 벽이 너무 매끈하거나 상호작용이 지나치게 정반사적(specular)인 경우 유한한 슬립이 생길 수 있다. 따라서 어떤 Couette/Poiseuille 보정에서도, 근벽 속도 프로파일로부터 슬립 길이 $b$를 측정한다. 간단한 추정기는 경계층에서 접선 속도를 선형 피팅하여 얻는다:

$ b/h\le b_{\rm tol}$ (예: $b_{\rm tol}\sim 10^{-2}$)이면 ``무슬립'' 보정 레짐을 선언할 수 있다. 또는 더 VP-친화적으로는 $b\le 0.1\,D^\ast$를 기준으로 쓸 수 있다. 이 게이트가 실패하면, (i) 부분-슬립 모델을 보고하거나, (ii) 벽 거칠기/점착성을 재설계해야 한다.

\medskip \noindent\GATE\ BC-W2B (옵션 B, 선택: 힘장(force-field) 벽). 매끈한 벽은 외부 반발 퍼텐셜로 표현할 수 있다. 근벽 상호작용이 주로 정반사적이면 접선 운동량 교환이 약하여 부분 슬립이 나타난다. 이 옵션은 슬립 레짐($b\gtrsim D^\ast$)을 의도적으로 탐색할 때 유용하지만, $b$를 측정하여 피팅에 포함하지 않는 한 벌크 $\mu_{\rm eff}$ 추정에는 사용하면 안 된다.

\medskip \noindent연속체 매개변수화(Navier 슬립). 부분-슬립 경우의 최소 거시 기술은

이다. 여기서 $\uv_w$는 벽 속도, $(\cdot)_t$는 접선 성분, $\partial_n$은 바깥쪽 법선 미분이다.

간격 $h$인 평면 Couette 셀에서 두 벽이 동일 슬립 길이 $b$를 가지면 전단률은 $\partial_y u=\Delta U/(h+2b)$ (기존 $\Delta U/h$가 아님)이다. 따라서 게이트 G5-A의 열 보정은 다음과 같이 수정된다:

즉 $\mu$를 식별하려면 벽 슬립을 제어하거나 측정해야 한다.

\medskip \noindent브리지 스케일 진단. 마이크로/나노 장치에서는 의도적으로 거칠게 만들지 않으면 보통 $b=\mathcal O(D^\ast)$가 기대되므로, $b/D^\ast$ 비는 브리지 스케일의 추가 진단으로 사용할 수 있다. \end{remark}

2.5.1 점성 식별: Green--Kubo(형식)와 소산 매칭(운영)

VP 사건 통계를 나비에--스토크스 수송계수와 연결하는 직접적(그리고 반증 가능한) 방법은 비가역 파워 싱크를 매칭하는 것이다.

Green--Kubo/선형응답에 의한 $\mu$ 식별(형식).

\eqref{eq:newtonian_from_memory}는 이미 1원리 경로를 시사한다: $\mu$는 응력-이완 커널 아래의 면적이다. 유효 온도 $\Theta$를 갖는 국소 평형 가정 하에서, 선형 응답은 전단 점성에 대한 동등한 Green--Kubo 표현을 준다:

여기서 $\langle\cdot\rangle_{\rm le(\xv,t)}$는 $(\xv,t)$의 조대 상태에 조건부인 국소 평형 앙상블, $\tau_{xy}$는(재밍 레짐에서) 상호작용이 지배적인 전단 응력으로 취할 수 있다. 실용적으로 \eqref{eq:green_kubo_mu}는 두 가지 점에서 유용하다: (i) VP 미시 동역학이 고정되면 $\mu$가 내재적(intrinsic)임을 보이고(임의의 피팅 파라미터가 아님), (ii) 시뮬레이션에서 응력 자기상관을 측정할 수 있으면 명시적 보정 프로토콜을 제공한다.

맥스웰 그림과의 일치.

응력 이완이 단일 지수 형태 $G(s)\approx G_0 e^{-s/\tau_M}$이면, $\mu=\int_0^\infty G(s)\,ds \approx G_0\tau_M$이고, 이는 맥스웰 매핑 \eqref{eq:maxwell_mapping}을 회복한다 ($G_0$를 일시적 전단 모듈러스라고 해석).

국소 사건율과 사건 소산 밀도.

조대화 부피 $V_{\rm cg}\sim \ell_{\rm cg}^3$와 국소 시간창 길이 $\Delta t_{\rm cg}$를 고정하자. 국소 창 $W_{\xv,t}$에서 기록된 언재밍 유형 사건 수를 $N_{\rm unjam}(W_{\xv,t})$라 하자. 이에 대응하는 사건율을

로 정의한다. 같은 창에서 사건당 평균 방출 에너지를 $\langle \Delta E_{\rm bind}\rangle_{\xv,t}$라 하자(프로토콜-잠금). 그러면 사건 소산 밀도는

이다.

비압축·전단 지배 레짐.

국소적으로 $\nabla\!\cdot\uv\approx 0$이면, 뉴턴형 점성 소산 밀도는

로 축약된다. VP 소산이 사건에 의해 지배되고 뉴턴형 닫힘이 성립하는 레짐에서는 최소 매칭 원리는

이며, 이는 운영적 점성 추정기를 준다:

뉴턴형 게이트 조건은, 선언된 창과 강제(구동) 클래스에서 $\mu_{\rm eff}$가 대체로 레이트-독립(rate-independent)이며 등방적이라는 것이다.

유동성 $\phi$와의 관계.

고정된 VP 업데이트 프로토콜에서 미시 시간 스텝을 $\Delta t_{\rm micro}$라 하면, 창 유동성 $\phi=N_{\rm unjam}/N_{\rm total}$은 $\lambda_{\rm unjam}\sim \phi/(V_{\rm cg}\,\Delta t_{\rm micro})$ 를(물리 시간과 업데이트 스텝의 변환은 프로토콜에 의존) 의미한다. 따라서 VP의 ``유동성'' 개념은 연속체 소산 수지에서 직접 측정 가능한 양이 된다.

\begin{remark}[왜 이것이 여전히 ``나비에--스토크스''인가] 나비에--스토크스는 $\mu,\lambda$를 현상론적 입력으로 사용한다. \eqref{eq:maxwell_mapping}은 선택적 동일시이며, 이 식별이 VP$\to$NS 브리지의 일부가 되려면 선언된 게이트(응력--변형률률 측정; 6절)를 통과해야 한다. \end{remark}

2.6 점성 소산과 열역학적 허용성

나비에--스토크스 닫힘이 VP 브리지로서 의미 있으려면 열역학적으로 허용되어야 한다: 비가역 기계적 파워 밀도는 음이 아니어야 한다.

\begin{proposition}[점성 소산 항등식과 양성]\label{prop:visc_pos} 계수 $\mu,\lambda\in\mathbb R$을 갖는 압축성 뉴턴형 닫힘 \eqref{eq:newtonian_stress}를 가정하자. 체적 점성을

로 정의한다. 그러면 점성 소산 밀도는 다음의 항등식이다:

여기서 $S$는 \eqref{eq:newtonian_stress}의 자취-없는 변형률률 텐서이다. 또한 모든 속도 기울기 $\nabla\uv$에 대해 $\epsilon_\nu(\xv,t)\ge 0$이 성립할 필요충분조건은

이다. \end{proposition}

\begin{proof} $\nabla\uv = S + \frac13(\nabla\!\cdot\uv)\Id + A$로 쓰자. 여기서 $A:=\frac12(\nabla\uv-(\nabla\uv)^\top)$는 반대칭(skew) 부분이다. $\tau$는 대칭이므로 $\tau:A=0$이고 대칭 부분만 기여한다. $\tau=2\mu S+\lambda(\nabla\!\cdot\uv)\Id$ 및 $S:\Id=0$을 사용하면 $\tau:\nabla\uv = 2\mu\,S:S + (\lambda+\frac23\mu)(\nabla\!\cdot\uv)^2$. $\mu<0$이면 $\nabla\!\cdot\uv=0$이면서 $S\neq 0$인 순수 전단을 택해 $\epsilon_\nu<0$이 되게 할 수 있다. $\zeta<0$이면 $\nabla\uv=\alpha\Id$인 순수 팽창을 택해 $\epsilon_\nu=3\zeta\alpha^2<0$이 된다. 따라서 \eqref{eq:admissibility_conditions}는 필요하다. 반대로 \eqref{eq:admissibility_conditions}가 성립하면 \eqref{eq:visc_dissipation_density}의 두 항이 모두 음이 아니므로 점별로 $\epsilon_\nu\ge 0$이며, 충분성도 성립한다. \end{proof}

\noindent\GATE\ (열역학 체크). VP 데이터로부터 $(\mu,\lambda)$를 피팅할 때는 $\zeta=\lambda+\frac23\mu$를 함께 보고하고, \eqref{eq:admissibility_conditions}를 검증하라. 위반은 (i) 닫힘 붕괴(비뉴턴형 응답) 또는 (ii) 측정 시간창과 가정된 연속체 레짐의 불일치를 시사한다.

\begin{remark}[스토크스 가정(Stokes hypothesis)은 선택 사항] 일부 문헌은 $\lambda=-\tfrac{2}{3}\mu$(즉 $\zeta=0$)를 부과한다. 이는 추가적인 모델 선택이지 유도가 아니다. VP$\to$연속체 브리지에서는, 전용 보정으로 달리 증명되기 전까지 $\lambda$를 체적 이완을 요약한 경험적 파라미터로 취급해야 한다. \end{remark}

3. 사건 소산을 포함한 에너지 및 엔트로피 예산

3.0 예산(bookkeeping): 무엇이 ``소산''되는가

본 문서에서 ``소산(dissipation)''은 항상 해상된(resolved) 유동(기계적) 에너지에 대한 의미로 사용한다. 고전적 점성과 VP 사건 모두 해상된 유동으로부터 에너지를 제거하여 해상되지 않은/내부 자유도(열, 코어 변형, 결합 재배열, \dots)로 전달한다. 이는 온자거(Onsager)형 이상 소산 질문에 대해 올바른 기술 수준이다: $\nu\to 0$에서도 해상된 유동 에너지 감쇠가 0이 아닌 채로 남을 수 있는가?

\medskip \noindent\LOCK\ 해상된 유동 에너지. 비압축·상수 밀도 레짐($\rho=\rho_0$)에서 해상된 운동 에너지 밀도를

로 정의하고, 공간 평균 및 총 에너지를

로 둔다.

\medskip \noindent\LOCK\ 소산률(평균형). 다음 공간 평균 파워 밀도(단위 부피당)를 사용한다:

(적분형(총량)은 $|\Omega|$를 곱하면 얻는다.)

3.1 고전적 운동에너지 예산(비압축)

$\uv$가 $\Omega$에서 비압축 나비에--스토크스의 매끄러운 해라고 가정하자. 경계는 주기적이거나, 경계를 통한 기계적 에너지 플럭스가 0이 되도록 하는 조건(예: 무유량/적절한 벽 조건)을 만족한다고 하자. \eqref{eq:NS_incompressible}에 $\rho_0\uv$를 곱해 $\Omega$에서 적분하고, $\nabla\!\cdot\uv=0$과 부분적분을 사용하면 다음의 정확한 항등식을 얻는다:

여기서

이므로 $\varepsilon_\nu(t)\ge 0$이다.

\begin{remark}[약해(weak solution)와 에너지 부등식] Leray(르레) 약해의 경우 등식 \eqref{eq:energy_NS}는 부등식으로 바뀐다:

그리고 비점성 한계를 취할 때 추가적인 음이 아닌 ``결함(defect)'' 항이 나타날 수 있다. 5절은 이 목적을 위해 Duchon--Robert(듀숑--로베르) 결함 언어를 요약한다. \end{remark}

3.1.1 압축성 에너지 및 엔트로피 방정식(참고 형태)

본 백서는 비압축 해상 에너지 수지 \eqref{eq:energy_NS}에 초점을 두지만, VP ``사건 열(event heat)''은 자연스럽게 내부에너지 채널로 들어오기 때문에, 표준 압축성 참고 형태를 기록해 두는 것이 유용하다.

내부에너지(단위 질량당)를 $e(\xv,t)$라 하고, 총 비에너지를 $E:=e+\frac12|\uv|^2$로 정의하자. 열 플럭스를 $\mathbf q$(예: 푸리에 $\mathbf q=-\kappa\nabla T$)라 하면, 압축성 나비에--스토크스의 총 에너지 방정식은

로 쓸 수 있다. 동치로 내부에너지 방정식(제1법칙)은

이다. 열역학적 허용성은 점성 기여 $\tau:\nabla\uv=\epsilon_\nu$가 음이 아니어야 함을 요구하며, 이는 명제~\ref{prop:visc_pos}의 조건 하에서 성립한다. 호환되는 엔트로피 수지는 개략적으로

로 쓸 수 있다. 여기서 $s$는 비엔트로피(specific entropy)이다. 식 \eqref{eq:entropy_balance_reference}는 VP 투영이 거시 한계에서 존중해야 하는 연속체 ``제2법칙'' 타깃이다.

3.1.2 미시--거시 열 매핑(VP \texorpdfstring{$\leftrightarrow$

3.1.1절은 온도 $T$와 열 플럭스 $\mathbf q$를 포함하는 표준 압축성 에너지/엔트로피 형태를 기록했다. VP 기반 공학에서는 $T$와 $\mathbf q$가 VP 통계에서 어떻게 나타나는지 명시해 둘 필요가 있다.

특이 속도(peculiar velocity)로부터의 운동론적 온도.

입자 $i$의 특이 속도를 조대 유동에 대한 상대 속도로 정의한다:

여기서 $\uv(\xv,t)$는 평가점에서의 조대화 속도이다. 그 다음 표준 운동론 매핑으로 국소 운동론적 온도를 정의한다:

여기서 $\langle\cdot\rangle_{\xv,t}$는 커널/시간창 평균, $k_B$는 볼츠만 상수(또는 시뮬레이션 단위 대응물)이다. (엄밀히 2차원 시뮬레이션이면 $3/2$를 $d/2$로 바꾸고 $d=2$를 쓴다.)

열 플럭스와 푸리에 한계.

$T_i$를 입자 수준 온도 프록시(특이 운동 에너지)라 하자. 최소 VP ``혼합(mixing)'' 모형은 다음과 같은 이완/교환 단계이다:

여기서 $W_{ij}$는 조대화 커널 $W_\ell$이 유도하는 대칭 음이 아닌 가중치이다. 연속체 한계에서, 테일러 전개 $T_j\simeq T_i+(\xv_j-\xv_i)\cdot\nabla T$와 $W_{ij}$의 대칭성은 확산 연산자를 만들어내며, 거시 열 방정식

을 유도한다. 혼합 단계가 엔트로피를 생성하는(메트릭/제2법칙) 부문이라면, 이산 교환 \eqref{eq:discrete_temp_exchange}는 분산에 대한 수축(contraction)이므로 양성 $\kappa>0$이 보장된다.

VP 사건이 들어오는 곳.

사건 소산 $\epsilon_{\rm events}$(3.2절)은 추가적인 내부에너지 소스이다. 따라서 압축성 닫힘에서는 개략적으로

처럼 쓸 수 있으며, 이는 3.1.1절의 참고 제1법칙 형태와 일치한다.

3.2 VP 내부 저장고와 사건 소산

VP에는 해상되지 않은 자유도(코어 변형, 필라멘테이션, 서브그리드 열, \dots)로 정의된 에너지 $\Delta E_n\ge 0$를 방출하는 이산 사건(언재밍/병합/재연결)이 포함된다. 핵심은 이 전달이 기록된다는 점이다.

사건 로그(event log).

사건 목록 $\{(t_n,\xv_n,\Delta E_n)\}_{n=1}^{N_{\rm total}}$을 가정한다. 여기서 $t_n$은 사건 시각, $\xv_n$은 사건 대표 위치(예: 참여자들의 중심점), $\Delta E_n$은 방출 에너지이며(프로토콜-잠금)이다.

내부 저장고(전역).

누적 저장고 에너지를

로 정의한다. 그러면 (평균) 사건 소산률은 분포적 미분으로

이다.

\begin{remark}[시간에 대한 양의 측도(measure)로서의 사건 소산] 사상 $t\mapsto h_{\rm int}(t)$는 단조 증가하며 유계 변동(bounded variation)을 가진다. 따라서 시간에 대한 양의 라돈 측도(Radon measure) $\mu_{\rm events}$를 정의하며, 분포 의미에서 $dh_{\rm int}=d\mu_{\rm events}$가 성립한다. 구체적으로 임의의 시험 함수 $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R)$에 대해

이다. 이 언어에서 $\varepsilon_{\rm events}$는 시간의 보통 함수라고 가정하지 않는다. 이는 $\mu_{\rm events}$의 (특이할 수 있는) 측도 밀도이며, 디랙 스파이크(Dirac spike)를 포함할 수 있다. \end{remark}

내부 저장고(국소 밀도).

각 사건을 공간에서 $W_\ell$로 퍼뜨리면 호환되는 조대화 밀도를 얻는다:

구성상 $\langle \epsilon_{\rm events}(\cdot,t)\rangle_\Omega=\varepsilon_{\rm events}(t)$이다.

시간창 평균.

시간창 $W=[t_0,t_1]$에 대해

이다.

3.3 확장된 해상 유동 예산과 정상 창 닫힘

\noindent\LOCK\ 사건 회계(사건 시각에서의 제1법칙). 각 사건 시각 $t_n$마다, 해상 유동은 에너지를 잃고 저장고는 같은 양을 얻는다:

이 규칙은 해상 유동 예산에서 측정되는 ``사건 소산''이 수치 인공물(numerical artifact)이 아니라 기록된 물리적 전달임을 보장한다.

\medskip \noindent\DERIVE\ 해상 유동 예산(평균형). 매끄러운 점성 진화 \eqref{eq:energy_NS}와 사건에서의 점프 손실을 결합하면 다음의 정확한 항등식을 얻는다. 이는 시간에 대해 분포(distribution) 의미로 이해된다: 사건 사이에서는 \eqref{eq:energy_NS}로 환원되고, 사건 시각에서는 점프 손실을 부호화하는 디랙 스파이크를 포함한다(부록~H).

\eqref{eq:resolved_flow_budget}를 시간창 $W=[t_0,t_1]$에서 적분하면 다음의 정확한 항등식이 된다:

따라서 정상 시간창(0.3절)에서는 드리프트 항이 무시 가능하고, 닫힘 \eqref{eq:budget_window}을 회복한다:

\begin{remark}[$\nu\to 0$에서 무엇이 남는가] \eqref{eq:resolved_flow_budget}는 해상 유동 에너지에 대해, 총 소산이 $\varepsilon_{\rm tot}:=\varepsilon_\nu+\varepsilon_{\rm events}$임을 보여준다. 점성 소실 스캔에서 $\varepsilon_\nu$는 0으로 갈 수 있지만, $\langle\varepsilon_{\rm events}\rangle_W\to\varepsilon_*>0$라는 비영(非零) 한계는 사건이 운반하는 온자거형 이상 소산 채널 그 자체이다. \end{remark}

4. VP 기반 유체역학을 위한 메트리플렉틱/GENERIC 구조

4.1 대수적 템플릿

메트리플렉틱(metriplectic; GENERIC 유사) 템플릿은 어떤 함수-함수(기능적) $F[\Psi]$의 진화를 다음과 같이 쓴다:

여기서 $H$는 총 에너지, $S$는 엔트로피이다. 괄호(bracket)는 다음을 만족한다:

• $\{\cdot,\cdot\}$는 스큐(skew) 연산자 $\PoissonOp$가 생성하는 포아송 괄호(Poisson bracket)이다.
• $(\cdot,\cdot)$는 대칭 양의 준정(PSD) 연산자 $\MetricOp$가 생성하는 메트릭 괄호(metric bracket)이다.

연산자 형태로 쓰면

이다.

4.1.1 비압축 오일러를 리-포아송(Lie--Poisson) 계로 보기(지향점)

유체역학의 이류(비점성) 부분은 자연스럽게 해밀토니언적이다. 비압축 오일러의 경우, 발산이 0인 벡터장들의 리 대수 위에서 동역학을 정식화할 수 있다. 2차원에서는 상태를 와도 $\omega=\nabla\times\uv$(스칼라)로 쓰면, 표준 리-포아송 괄호는

이며, 여기서 $[\cdot,\cdot]$는 평면에서의 야코비안(포아송 괄호)이다. 해밀토니안 $H(\omega)=\frac12\int |\uv|^2\,d\xv$를 택하고 $\omega$로부터 $\uv$를 Biot--Savart 법칙으로 복원하면 오일러 방정식이 나온다.

본 절은 VP에 핵심적인 다음 점을 강조하기 위해 포함했다: 이류(advection)는 가역적이며 스큐(포아송) 연산자로 모델링되어야 한다. 반면 비가역성(점성, 사건 소산)은 반드시 대칭 양의 준정 부문을 통해 들어와야 한다.

4.2 퇴화 조건(degeneracy; 열역학적 일관성)

열역학적 일관성은 퇴화 조건으로 보장된다:

두 번째 조건은 ``소산''이 총 에너지를 바꾸지 않고 내부 모드로 재분배한다는 진술과 같다.

4.3 점프 항으로서의 사건 채널

VP에서는 사건이 매끄러운 이류 위에 얹힌 점프 과정(jump process)으로 자연스럽게 모델링된다. 혼성 기술은 다음과 같다:

여기서 $N_r$은 계수 과정(counting process; 병합/언재밍 채널), $\zeta_r$는 점프 사상(jump map)이다.

4.4.1 일반화된 상세평형(GDB)에 의한 H-정리

H-정리로 가는 표준 경로는 사건 커널의 유효 천이율에 일반화된 상세평형 (generalized detailed balance; GDB)을 부과하는 것이다. 그러면 엔트로피 생성은 상대 엔트로피 형태를 취한다:

여기서 $J^\pm$는 정/역 플럭스이다. 이 구조는 순반응이 엔트로피 증가 방향으로 진행됨을 보장한다.

4.4.2 사전(a priori) 파라미터 스케일링(공학 브리지)

VP$\to$NS 브리지가 공학적으로 완결되려면, 대규모 시뮬레이션 이전에 목표 거시 수송계수를 겨냥하도록 VP 파라미터를 선택할 수 있어야 한다. 본 절은 VP 미시 파라미터와 연속체 계수를 잇는 자릿수(오더) 스케일링 법칙을 기록한다. 이 관계들은 정확한 항등식이 아니다. 6절의 Gate 스위트로 검증(또는 기각)될 수 있는 설계 휴리스틱으로 의도된다.

미시 파라미터.

대표 입자 질량을 $m$, 격자 간격을 $a$, 반발/접촉 강성을 $k_{\rm spr}$(접촉 근처에서 쌍 퍼텐셜의 국소 2차 근사에서의 스프링 상수)로 쓴다. 재밍 네트워크의 맥스웰 이완 시간을 $\tau_M$, 국소 언재밍율을 $\lambda_{\rm event}$(2.5.1절)로 두면, 가장 단순한 포아송-리셋 그림에서 $\tau_M\sim 1/\lambda_{\rm event}$이다.

\subsubsection*{4.4.2.1 레짐 A: 언재밍/충돌 지배(기체형)}

유동성이 높아 운동량 수송이 입자 병진 및 혼합에 의해 지배되는 레짐에서는, 운동론 추정이

을 준다. 여기서 $\alpha$는 기하학적 계수(3차원에서 자릿수 $\sim 1/3$), $v_{\rm th}$는 \eqref{eq:kinetic_temperature}의 운동론적 온도에 대응하는 열 속도이다. 이 스케일링은 평균자유행로 $\ell_{\rm mfp}\sim a$인 경우의 $\nu\sim v_{\rm th}\ell_{\rm mfp}$의 아날로그이다.

\subsubsection*{4.4.2.2 레짐 B: 재밍/네트워크 지배(액체/고체형 맥스웰 레짐)}

재밍 한계(힘-사슬 지배)에서는 유효 전단 점성이 응력 이완으로 제어된다:

여기서 유효 전단 모듈러스는

로 스케일한다. 언재밍 사건이 $\lambda_{\rm event}$의 속도로 이방성을 무작위화한다면 최소 추정은

이며 $\beta$는 프로토콜 의존 효율 계수(자릿수 1)이다.

\subsubsection*{4.4.2.3 레이놀즈 수를 겨냥하는 ``노브(knobs)''}

\eqref{eq:mu_jam_scaling}--\eqref{eq:tauM_scaling}과 $\nu=\mu/\rho$, $\rho_0\sim m/a^3$를 결합하면, 재밍 레짐의 동점성(kinematic viscosity) 스케일링은

이다. 여기서 $\Delta t_{\rm event}\sim\tau_M$는 언재밍 사건 사이의 평균 시간이다. 식 \eqref{eq:nu_eff_knob}가 실용적인 ``설계 노브''이다: 목표 레이놀즈 수 $\Rey=UL/\nu_{\rm eff}$를 겨냥하기 위해 (i) 강성 $k_{\rm spr}$ 또는 (ii) 사건 민감도(이는 $\lambda_{\rm event}$ 및 따라서 $\tau_M$를 설정)를 조정할 수 있다. 이때 브리지 스케일 게이트 $D^\ast\ll L$을 만족시키는 것을 함께 요구한다.

\begin{remark}[차원 노트 및 시뮬레이션 단위] 위 스케일링들은 물리 차원에서 썼다. 무차원 시뮬레이션 단위에서 $a=1$, $m=1$로 두면, \eqref{eq:nu_eff_knob}는 자릿수 계수들을 제외하면 $\nu_{\rm jam}\sim k_{\rm spr}\tau_M$로 축약된다. \end{remark}

5. 비점성 한계, 결함 측도, 그리고 온자거형 이상 소산

5.1 연속체 언어: 약한 오일러, 조대화, 그리고 Duchon--Robert 결함

비점성 한계에서 오일러 방정식은 운동 에너지를 보존하지 않는 약해(weak solution)를 가질 수 있다. 이를 정밀하게 부호화하는 한 방법은 조대화(coarse graining)와 그에 수반되는 비선형 에너지 플럭스를 사용하는 것이다.

필터된 에너지 수지.

$G$를 $\int G=1$인 매끄러운 몰리파이어(mollifier)라 하고 $G_\ell(\rv)=\ell^{-3}G(\rv/\ell)$로 정의하자. 속도장 $\uv$에 대해 필터된 장을 $\uv_\ell:=G_\ell*\uv$로, 서브스케일 응력을

로 정의한다. 약한 오일러 해 $\uv$(비압축, $\nabla\!\cdot \uv=0$)에 대해 필터된 운동에너지 수지는

여기서 스칼라 $\Pi_\ell(\xv,t)$는 스케일 $\ell$을 가로지르는 국소 에너지 플럭스이다.

Duchon--Robert 결함.

Duchon과 Robert는 적절한 약해(예: $\uv\in L^3_{\rm loc}$)에 대해 $\Pi_\ell$이 $\ell\to 0$에서 분포적 극한을 가진다는 것을 보였다:

그리고 국소 에너지 수지는

가 된다. 편리한 증분 표현은

이다.

\begin{lemma}[H\"older 경계: $1/3$보다 매끄러우면 결함이 없다]\label{lem:holder_DR} $\uv$가 지수 $h>1/3$의 국소 H\"older 연속이라 하자. 즉 작은 $|\rv|$에 대해 $|\delta\uv(\rv)|\le C|\rv|^h$가 성립한다고 하자. 그러면 $\mathcal D(\uv)=0$이다. \end{lemma} \begin{proof} $|\nabla G_\ell(\rv)|\lesssim \ell^{-4}$이고 지지가 $|\rv|\lesssim \ell$에 놓인다는 것을 사용하면, \eqref{eq:DR_increment_formula}로부터 $|\Pi_\ell|\lesssim \ell^{-4}\int_{|\rv|\lesssim \ell}|\rv|^{3h}\,d\rv \lesssim \ell^{3h-1}\to 0$ ( $\ell\to 0$ )을 얻는다. 여기서 $h>1/3$이면 $3h-1>0$이므로 극한이 0이다. \end{proof}

따라서 온자거형 이상 소산 채널($\mathcal D(\uv)\not\equiv 0$)은 속도 거칠기가 $1/3$ 임계값 이하(또는 그 부근)에 있을 때만 양립 가능하다.

5.2 VP 언어: 이산 결함으로서의 사건 소산

VP는 결함 측도에 대한 명시적이고 이산적인 후보를 제공한다: 언재밍/병합 유형 사건에서의 누적 결합 에너지 방출이다.

시공간 측도로서의 사건 소산.

사건 $k$가 $(\xv_k,t_k)$에서 발생하고 방출 에너지가 $\Delta E_{{\rm bind},k}\ge 0$라 하자. 다음의 시공간 사건 측도를 정의한다:

시간 마지널(time-marginal)은 부록~C.2에 있다. 국소 사건 소산 밀도 $\epsilon_{\rm events}(\xv,t)$는 조대화 부피와 시간창을 선택한 후에만 존재한다. 측도 정식화는 사건이 이산적일 때 생기는 모호성을 피한다.

일관성 진술(에너지 항등식의 한계).

점성을 $\nu$로 갖는 VP-정보 흐름의 족 $\uv^\nu$를 생각하자(가능하게는 $\nu\to 0$). 분포 의미에서 에너지 수지가 다음 꼴이라고 하자:

여기서 $\mu_{\rm events}^\nu$는 음이 아닌 시공간 측도이다. $\uv^\nu\to \uv$가 $L^3_{\rm loc}$에서 성립하고, 측도들이 $\nu|\nabla\uv^\nu|^2\,d\xv dt \rightharpoonup \mu_{\rm visc}$, $\mu_{\rm events}^\nu \rightharpoonup \mu_{\rm evt}$로 약수렴한다고 가정하자. 그러면 극한 $\uv$는 결함

를 갖는 약한 오일러 에너지 수지를 만족한다. 특히 $\mu_{\rm visc}\to 0$(점성 채널 소실)인데도 $\mu_{\rm evt}\not\equiv 0$이면, 남는 결함은 순수하게 사건이 유도한다.

지지(support) 국소화를 반증 가능한 게이트로 취급.

때때로 더 강한 주장으로, 사건 활동의 공간 지지가 극한 오일러 해의 특이 집합(singular set)에 수렴한다는 것을 원한다. 본 백서는 이를 \GATE\ 항목으로 취급한다: 진단이 (i) 사건 위치가 속도 증분이 $1/3$ H\"older 임계값을 위반하는 영역(보조정리~\ref{lem:holder_DR})에 집중하고, (ii) 그 집중이 해상도/시드 스캔에서 유지됨을 보여줄 때에만 받아들인다. 이산--연속체 사전(dictionary)은 부록~C에 요약되어 있다.

5.3 실용적 이상(anomaly) 진술(반증 가능)

전형적인 반증 가능한 주장은 다음과 같다.

\medskip \noindent이상 주장. 주입이 고정된 정상 시간창에서 $\langle \varepsilon_{\rm inj}\rangle=I>0$라 하자. 어떤 스캔 매개변수(예: 점성 $\nu\to 0$ 또는 사건 코어 크기 $r_c\to 0$)가 존재하여

이면서 예산 닫힘 \eqref{eq:budget_window}이 허용오차 내에서 성립한다.

5.3.1 강건성: 점와도 수와 시드 앙상블(메트리플렉틱 기준)

소산-포화 플롯(그림~\ref{fig:dissipation_saturation})은 올인원 DOI 번들에 포함된 재현성 패키지(metriplectic\_onsager\_repro/)로 생성된다. 그 패키지에서 사건 구동 소산은 $\varepsilon_{\rm bind}\equiv\langle \varepsilon_{\rm events}\rangle_W$ (결합/병합 사건)으로 보고된다.

최소한의 강건성 진단 두 가지는 다음과 같다.

• 점와도 수 스캔(``$N_{\rm v$-스캔'').} 이산-와도 메트리플렉틱 모형의 자유도 수인 점와도 개수 $N_{\rm v}$를 변화시키고, 그에 따른 $\varepsilon_{\rm bind}(Re_{\rm eff})$를 보고한다.
• 시드 앙상블 분산. 모형 파라미터(예: 병합 코어 $r_c$)를 고정한 채로 무작위 초기 시드를 여러 번 반복하여 고유한 산포(scatter)를 정량화한다.

\begin{remark}[기호 충돌 회피: $N_{\rm v}$ vs 격자 해상도 $N$] 6절에서 $N$은 나비에--스토크스 기준 시뮬레이션의 스펙트럴 격자 해상도를 뜻한다. 본 절에서 $N_{\rm v}$는 메트리플렉틱 사건 모형의 점와도 개수이다. \end{remark}

5.4 예시: 2D 와도 병합 시나리오와 유효 레이놀즈 수

사건-결함 아이디어의 한 구체적 구현은, 비점성 한계가 $\nu\to 0$의 직접 극한이 아니라 사건-코어 스케일 $r_c\to 0$의 축소로 대응되는 2차원 와도 모형이다. 이때 $r_c$는 유효 점성의 역할을 한다. 유효 레이놀즈 수를

로 도입한다. 여기서 $U_{\rm rms}$는 RMS 속도, $L$은 박스 크기이다. $\Rey_{\rm eff}$를 증가시키는 것은 큰 스케일 통계를 고정한 채로 $r_c$를 줄이는 것에 해당한다.

이런 모형에서는 종종 두 레짐이 관측된다:

• 영역 1(낮은/중간 $\Rey_{\rm eff$):} 사건 소산이 고전적 점성 추세를 따른다.
• 영역 2(큰 $\Rey_{\rm eff$):} 사건 소산이 0이 아닌 플래토로 포화되어, 온자거형 이상과 양립한다.

5.5 2D 나비에--스토크스(와도 형태)에서의 기준 점성 추세

비교 및 보정을 위해, 2차원 와도 방정식

을 사용해 ``기준(reference)'' 점성 추세를 생성할 수 있다. 영역은 변의 길이가 $L=2\pi$인 주기 박스이며, 유사-스펙트럴(pseudo-spectral) 이산화와 dealiasing을 사용한다.

엔스트로피(enstrophy)와 점성 소산률을 다음과 같이 정의한다:

그리고 $\Rey_{\rm eff}(t):=U_{\rm rms}(t)\,L/\nu$로 정의한다. 편리한 요약 통계는 각 $\nu$에 대해 $\big(\max_t\varepsilon_\nu(t),\ \langle\Rey_{\rm eff}\rangle_{t\in W}\big)$ 쌍이다.

이 진단은 의도적으로 ``노트북 규모(laptop-scale)''이다: 정밀한 관성범위 난류 연구를 위한 것이 아니라, 재현 가능한 기준 곡선을 제공하기 위한 목적이다.

6. 검증 및 재현성 프로그램(Gate 스위트)

6.1 Gate G1: 보존 법칙 건전성(sanity)

\noindent\GATE\ G1(질량). VP(또는 파생 솔버)의 이산화가 총 질량을 보존하며, \eqref{eq:conti}가 약한 형태로 성립함을 확인하라.

\noindent\GATE\ G1(운동량). 내부 힘이 뉴턴의 제3법칙(또는 적절한 반대칭)을 만족하여 응력 표현이 존재함(부록~A)을 확인하라.

6.2 Gate G2: 뉴턴형 레짐 식별

\noindent\GATE\ G2(응력--변형률률 시험). 균질 전단(또는 진동 전단)에서 $\tau$와 $S$를 측정하고 다음을 시험하라:

• 선형성: $\tau_{ij}\propto S_{ij}$,
• 등방성: 비례 계수가 회전된 프레임에서도 동일,
• 국소성: 시험한 레짐에서 고차 기울기(예: $\nabla\nabla\uv$)에 강한 의존이 없음,
• 맥스웰 시간: 응력 이완 커널 $G(s)$를 측정(계단 변형 또는 진동 전단)하여 $\tau_M$을 추출하고, 선언된 창에서 $\mathrm{De}=\tau_M/T_{\rm flow}\ll 1$임을 확인,
• 이방성 감쇠: 패브릭 텐서 $Q$(또는 동등한 이방성 지수)를 측정하고, 창 평균 후 $Q$가 작음을 확인($\Delta t_{\rm cg}\gg\tau_M$),
• 점성 교차 검증: 같은 창에서 \eqref{eq:green_kubo_mu}의 $\mu_{\rm GK}$, \eqref{eq:mu_eff_from_events}의 $\mu_{\rm events}$, \eqref{eq:maxwell_mapping}의 맥스웰 추정 $\mu_{\rm Maxwell}\approx G\,\tau_M$ 을 비교하고, 선언된 허용오차 내에서 일치함을 요구하라. 불일치는 비뉴턴형 응답 또는 시간창 선택 오류를 시사한다.

레짐의 유효 범위와 피팅된 $\mu_{\rm eff},\lambda_{\rm eff}$를 선언하라.

6.3 Gate G3: 이상 스캔과 예산 닫힘

\noindent\GATE\ G3(스캔). $\nu\to 0$(또는 코어 크기 스캔)을 수행하고, $\varepsilon_\nu$, $\varepsilon_{\rm events}$, $\varepsilon_{\rm inj}$의 시간창 평균을 계산하라. 해상 유동 예산 \eqref{eq:resolved_flow_budget}의 창 형태를 요구한다:

정상 창에서는 드리프트 항이 무시 가능하여 \eqref{eq:budget_window}로 단순화되고, 그 다음 $\langle\varepsilon_{\rm events}\rangle$의 포화를 시험한다.

6.4 Gate G4: 기준 나비에--스토크스 곡선(선택이지만 강력 권장)

이 게이트는 VP/사건 모형이 비교할 수 있는 재현 가능한 점성 벤치마크를 구축한다.

기준 PDE(2D, 주기).

변의 길이가 $L=2\pi$인 이중 주기 정사각 영역에서 와도 형태 \eqref{eq:2D_vorticity_NS}를 푼다. $\nabla^2\psi=\omega$를 풀고 $\uv=\nabla^\perp\psi$로 두어 $\omega$로부터 $\uv$를 복원한다.

수치(최소).

표준 선택은 $N^2$ 콜로케이션 점과 $2/3$ dealiasing을 갖는 유사-스펙트럴 이산화이다. 시간 적분은 RK4 또는 지수 시간차분(ETD) 스킴을 사용할 수 있다.

초기 조건(난류 유사, 노트북 친화).

재현 가능한 간단한 옵션은 소수의 가우시안 와도(무작위 위치/부호)의 합, 또는 밴드 제한된 무작위 와도장이다. 목표는 점근적 관성범위를 만드는 것이 아니라 안정적인 감쇠 곡선을 얻는 것이다.

파라미터 스캔.

작은 점성 집합(예: $\nu\in\{0.05,0.02,0.01,0.005\}$)을 택하고, 각 실행에서 다음을 계산한다:

• 엔스트로피 $Z(t)=\frac12\langle\omega^2\rangle$,
• 점성 소산 $\varepsilon_\nu(t)=2\nu Z(t)$,
• 유효 레이놀즈 수 $\Rey_{\rm eff}(t)=U_{\rm rms}(t)L/\nu$.

곡선을 위한 대표 쌍은 $\big(\max_t\varepsilon_\nu(t),\ \langle\Rey_{\rm eff}\rangle_{t\in W}\big)$이다.

해상도 검증(선택).

겹치는 점성 구간에서 격자 해상도에 대한 민감도가 작음을 확인하기 위해, 한두 개 점성을 더 높은 해상도(예: $256^2$, $512^2$)에서 반복한다.

6.5 포함된 나비에--스토크스 기준 데이터와 ``저해상도''의 의미

본 백서는 주로 해석적이지만, 6.4절의 Gate 논리를 뒷받침하기 위해 최소한의 나비에--스토크스 기준 데이터셋과 스크립트를(동반 재현성 아카이브를 통해) 함께 제공한다.

\begin{remark}[표기 노트] 본 절에서 $N$은 나비에--스토크스 솔버의 스펙트럴 격자 해상도(방향당 콜로케이션 점 수)를 뜻한다. 이는 5.3.1절의 메트리플렉틱 강건성 플롯에서 사용한 점와도 수 $N_{\rm v}$와 무관하다. \end{remark}

``저해상도''의 의미.

유사-스펙트럴 2D 나비에--스토크스에서 ``해상도''는 보통 콜로케이션 점 수 $N^2$를 의미한다. 표준 $2/3$ dealiasing을 쓰면, 유지되는 최고 파수는 $k_{\max}\approx N/3$이므로, $N=64$는 방향당 활성 푸리에 모드가 대략 $k_{\max}\approx 21$임을 뜻한다. 이는 정밀한 관성범위 난류 연구에 필요한 해상도보다 훨씬 낮다. 그러나 여기서 사용하는 특정 진단---보통의 점성 스캔에서 추출되는 \( (Re_{\rm eff}, \max_t\varepsilon_\nu(t)) \) 쌍---에 대해서는, $N=64$가 빠른 노트북 규모 보정 곡선으로 쓸 수 있다.

기준 쌍과 해상도 오버레이.

표~\ref{tab:NS_ref_pairs}는 추출된 $(Re_{\rm eff},\max_t\varepsilon_\nu)$ 쌍을 나열한다. 그림~\ref{fig:NS_resolution_overlay}는 $N=64$ 기준과, $N=256$, $N=512$ 고해상도 점검을 오버레이한다. 겹치는 점 $\nu=0.005$에서, $N=64$와 $N=512$의 상대 차이는 작다 ($Re_{\rm eff}$에서 \(\approx 1.15\%\), $\max_t\varepsilon_\nu\)에서 \(\approx 0.72\%\)). 이는 이 제한된 목적에 대해 기준 곡선이 사실상 수렴했음을 시사한다.

6.6 Gate G5: 하드웨어-인-더-루프 매핑(선택)

이 게이트는 본 백서의 연속체 파라미터를 하드웨어 시험대에서 측정 가능한 관측량과 연결한다 (예: ``Black Copper'' 열 추출, 광자/고체 VQC 요소, 마이크로채널 리그). 나비에--스토크스 유도를 검증하는 데 필수는 아니지만, 브리지를 공학적으로 사용 가능(engineering-ready)하게 만든다.

\noindent\GATE\ G5-A(점성 $\to$ 점성 발열/열 신호). 어떤 뉴턴형 레짐에서든 비가역 기계 파워 밀도는

이다. 최소 열 스케일링(유효 열전도도 $k_{\rm eff}$, 열 길이 $L_T$를 갖는 정상 전도)은

이다. 간격이 $h$인 평면 Couette 보정 셀에서 벽 속도 점프가 $\Delta U$이면 $S:S=\tfrac12(\Delta U/h)^2$이고, 등온 벽의 정확한 전도 해는

를 준다.

\noindent벽 노트. 위 Couette 스케일링은 무슬립 레짐을 가정한다. 본 권에서 기본 미시 프로토콜은 $b\approx 0$을 목표로 하는 BC-W2A(frozen-VP 벽)이지만, 그럼에도 BC-W3는 레짐 확인을 위해 $b$를 측정할 것을 요구한다. 슬립 길이 $b$를 갖는 부분 슬립이 발생하면, 슬립-보정식 \eqref{eq:couette_slip_temp}를 사용하거나, 속도 프로파일/유량 데이터로부터 $(\mu,b)$를 공동 피팅하라. 비고~\ref{rem:wall_protocol}을 보라.

통과 기준(예). 측정된 $\Delta T(\Delta U)$로부터 $\mu_{\rm eff}$를 피팅하고, 선언된 뉴턴형 창에서 $\mu_{\rm eff}$가 레이트-독립임을 확인하라. $\Delta T<10\,\mathrm{mK}$ 같은 설계 목표는 운용상의 ``저(低)-$\mu_{\rm eff}$'' 레짐을 표시하는 데 쓸 수 있으나, 수치 임계값은 장치 및 열 경로마다 선언되어야 한다.

\medskip \noindent\GATE\ G5-B(이상 $\to$ 사건-버스트 신호). 고전적 점성 외에 사건 채널이 존재한다면, 파워 예산에서 점성 기여를 뺀 잔차

는 음이 아니어야 하며, 가우시안 잡음이 아니라 버스트(bursty) 통계(간헐적 스파이크)를 보일 수 있다. 운영적으로는 (i) 정상 창에서의 예산 닫힘, (ii) 온도/잡음/파워 추적에서의 비가우시안 증분 통계 또는 임계값 기반 ``버스트'' 사건 으로 검출할 수 있다. 통과 기준(예). 피팅된 $\mu_{\rm eff}$(또는 $\nu_{\rm eff}$)를 감소시키는 제어 스캔 하에서, 시간 평균 잔차 $\langle \varepsilon_{\rm events}\rangle_W$가 0이 아닌 플래토로 포화되는지, 동시에 $\langle\varepsilon_\nu\rangle_W\to 0$인지 시험하라. 이는 온자거형 이상 소산 주장에 대한 하드웨어 아날로그이다.

\medskip \noindent에너지 회계 노트. ``자기 냉각(self-cooling)'' 주장은 반드시 완전한 에너지 수지와 함께 진술되어야 한다. 측정된 온도가 감소할 수 있는 상황(에너지가 내부 저장고로 재지향되거나 감시되지 않은 채널로 배출되는 경우)이 존재하더라도, 총 예산은 결국 닫혀야 한다.

7. \texorpdfstring{$\Pi$

본 절은 준-정상 난류 시간창을 진단하고 사건 소산 주장을 스케일-인식 방식으로 조직하는 데 유용한 무차원 불변량들을 도입한다. 나비에--스토크스를 유도하는 데 필수는 아니지만, 본 백서를 ``최종'' 유체역학 닫힘 문서로 사용할 때는 권장된다.

7.1 정의: \texorpdfstring{$\Pi_T$, $\Pi_L$, $\Pi_{ST

$\varepsilon_{\rm bind}$를 시간창 평균 사건/결합 소산률이라 하자 (사건 채널이 결합형일 때 $\varepsilon_{\rm bind}\equiv \langle \varepsilon_{\rm events}\rangle_W$로 둔다). $\Delta F_{\rm crit}$는 전이 주기에 연관된 ``임계'' 자유에너지 간극(gap), $\sigma_{\rm eff}$는 유효 엔트로피 생성 스케일(파워$\times$길이$^{1+\alpha}$)이라 하자.

시간 및 길이 불변량을 다음과 같이 정의한다:

여기서 $T$는 시간창 길이, $L$은 시스템(또는 외부) 스케일, $\alpha$는 스케일링 지수, $C_\alpha$는 무차원 보정 상수이다.

결합 불변량은

이며, 가중치 $a,b>0$는 사용자가 선택한다. 작은 $\delta_{ST}$는 $(\log\Pi_T,\log\Pi_L)$ 공간에서 직선 ``접촉선(contact line)''을 시사한다.

7.2 RG 접촉 조건

스케일 변환 $L\mapsto \lambda L$($\lambda>1$)을 고려하고 다음 스케일링 법칙을 가정하자:

그러면 고정점에서 $\Pi_L$의 불변성은 다음의 접촉(고정점) 조건을 함의한다:

고정점에서 벗어나면 $(1+\alpha)-\psi-\chi$의 부호가 조대화(coarse-graining) 하에서 $\Pi_L$의 단조 추세를 나타낸다.

7.3 이상 닫힘 정리(시간창 형태)

다음 명제는 예산이 닫힌 준-정상 시간창에서 사건 소산 이상 진술을 요약한다.

\begin{proposition}[점성 소실 한계에서의 사건 이상(시간창 형태)] $(\nu,\gamma)$(점성/마찰 유사 파라미터)로 지표화된 VP/유동 상태 족이 존재하여,

1. 양의 주입: $(\nu,\gamma)\to (0,0)$에서 $\langle\varepsilon_{\rm inj}\rangle_W \to I>0$.
2. 에너지 타이트니스: $\sup_{\nu,\gamma}\sup_{t\in W}\mathbb{E}[H_{\rm flow}(t)]<\infty$.
3. 예산 닫힘: 선언된 허용오차 내에서 $\langle\varepsilon_{\rm inj}\rangle_W= \langle\varepsilon_\nu+\varepsilon_\gamma+\varepsilon_{\rm events}\rangle_W$.

라고 하자. 만약 $(\nu,\gamma)\to(0,0)$에서 $\langle\varepsilon_\nu+\varepsilon_\gamma\rangle_W\to 0$이면,

가 따른다. 즉 비점성/무마찰 한계에서 총 소산은 사건 채널이 운반한다. \end{proposition}

7.4 Gate 사용법

\noindent\GATE\ (G6) $\Pi$-진단. 본 백서가 준-정상 보편성 또는 RG 접촉을 주장한다면, $(\Pi_T,\Pi_L,\Pi_{ST},\delta_{ST})$를 표준 진단으로 보고하고 다음과 같은 통과/실패 기준을 강제하라:

허용오차 $\varepsilon_T,\varepsilon_L,\varepsilon_{ST}$는 각 실험/시뮬레이션 스위트마다 선언되어야 한다.

\appendix

부록 A. Irving--Kirkwood 응력과 정확한 운동량 수지

본 부록은 조대화된 운동량 방정식 \eqref{eq:mom_sigma}의 표준 Irving--Kirkwood(IK) 유도 스케치를 기록한다. 이는 VP 프레임워크의 독창적인 부분이 아니다. 고전 결과를 본 문서의 표기 및 커널 관례로 맞춘 것이다.

\subsection*{A.0 설정과 항등식}

1절의 조대화 정의를 사용한다. 편의상 지표 $i$는 VP 캐리어를 나타낸다. 질량 밀도와 운동량 밀도는

이다. $\mathbf j=\rho\uv$를 도입하고, 특이 속도(국소 유동에 대한 상대 속도)를

로 둔다. 그러면

가 성립한다.

VP 운동 방정식은 \eqref{eq:vp_newton}이며, 내부 힘은 쌍힘으로 분해된다고 가정한다:

\subsection*{A.1 운동론적 부분}

운동량 밀도의 시간 미분은

두 번째 항에 대해 $\partial_t W_\ell(\xv-\xv_i)=-(\vv_i\cdot\nabla)W_\ell(\xv-\xv_i)$이므로,

따라서

여기서 $\vv_i=\uv+\cv_i$를 대입하고 \eqref{eq:peculiar_sum_zero}을 사용하면, 운동론적 플럭스는

로 분해된다. 따라서 운동론적 응력 텐서를

로 정의하면,

\subsection*{A.2 상호작용 부분(쌍힘)}

이제 내부 힘 기여를 처리한다. \eqref{eq:vp_newton}에서

쌍힘 분해를 사용하면

# Pseudocode: event logging + resolved-flow energy budget

initialize VP system (positions x_i, velocities v_i, masses m_i)
initialize event_log = []

for each micro-step n:
    # advance VP dynamics
    update positions, velocities

    # detect events (unjam/merge/...)
    if event_detected:
        compute released_energy DeltaE >= 0
        record event:
            event_log.append( (t_n, x_event, DeltaE, event_type) )

    # compute coarse-grained fields if needed
    compute rho(x), u(x) via kernel W_l

    # compute injected power and viscous dissipation (if applicable)
    eps_inj(t)   = <rho f·u>_Omega
    eps_nu(t)    = <2 mu S:S + zeta (div u)^2>_Omega  # Newtonian window only

    # compute event dissipation as measure-valued spikes
    eps_events(t) = (1/|Omega|) sum_{events at t} DeltaE * delta(t - t_event)

# After simulation: choose a time window W=[t0,t1]
Eflow(t) = < 0.5 rho0 |u|^2 >_Omega
budget_residual =
    | <eps_inj>_W - <eps_nu>_W - <eps_events>_W - (Eflow(t1)-Eflow(t0))/|W| |
    / <eps_inj>_W